Para a função e o número dados, expresse cada um dos seguintes limites como ou
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos encontrar o limite dessa função quando se aproxima de . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites e como simplificar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na função para ver o que acontece:
Aqui, a gente percebe que o denominador dá zero, o que significa que a função tende para infinito, menos infinito ou não existe nesse ponto. Precisamos analisar o comportamento próximo a .

Passo 3

Vamos fatorar o denominador para facilitar a análise:
Então, a função fica:
Observamos que o denominador se anula quando , o que nos indica um possível ponto de descontinuidade.

Passo 4

Para entender o comportamento do limite, vamos observar o sinal do denominador perto de :
  • Se se aproxima de pela direita ( ), o termo é positivo, já que está um pouquinho maior que . O termo é negativo, porque . Então, o denominador é negativo.
  • Se se aproxima de pela esquerda ( ), o termo é negativo, já que está um pouquinho menor que . O termo continua negativo. Então, o denominador é positivo.

Passo 5

Agora, vamos ver o numerador:
Como qualquer número ao quadrado é positivo, o numerador sempre será positivo, independente do valor de .

Passo 6

Juntando as informações:
  • Quando , o numerador é positivo e o denominador é negativo. Portanto, .
  • Quando , o numerador é positivo e o denominador é positivo. Portanto, .

Passo 7

Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes (um vai para e o outro para ), o limite geral não existe.

Resposta

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(j)
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