O íon de Li^2+ é igual ao átomo de hidrogênio na teoria de Bohr, exceto pelo fato de que a carga e a massa do núcleo são diferentes.
a) Que transições do Li^2+ dão origem a linhas de emissão com comprimentos de onda quase iguais às primeiras duas linhas da série de Lyman no hidrogênio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o íon Li^2+ e compara ele com o átomo de hidrogênio segundo a teoria de Bohr. O que precisamos descobrir é quais transições eletrônicas no Li^2+ geram linhas de emissão com comprimentos de onda quase iguais às duas primeiras linhas da série de Lyman no hidrogênio. Para resolver isso, vamos usar conceitos da teoria de Bohr sobre níveis de energia e transições eletrônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a energia dos níveis eletrônicos é calculada na teoria de Bohr. A energia de um nível é dada pela fórmula:
En = -Z^2 cdot RHn^2
Aqui, Z é a carga do núcleo (número atômico), RH é a constante de Rydberg para o hidrogênio, e n é o número principal do nível de energia.

Passo 3

No átomo de hidrogênio, temos Z=1. As primeiras duas linhas da série de Lyman correspondem às transições de n=2 para n=1 (Lyman α) e de n=3 para n=1 (Lyman β$. As energias dessas transições são:
Para Lyman α:
As energias dessas transições são: Para Lyman α:
Para Lyman β:
De

Passo 4

No íon Li^2+, a carga do núcleo é Z=3. A energia dos níveis agora será:
En = -3^2 cdot RHn^2 = -9RHn^2
Para que as transições em Li^2+ tenham energias semelhantes às do hidrogênio, precisamos que:
De
Isso implica que precisamos encontrar níveis ni e nf em Li^2+ tais que:
9RHnf^2 - 9RHni^2 approx De

Passo 5

Resolvendo para as duas primeiras transições da série de Lyman no Li^2+:
Para uma transição semelhante à Lyman α ( De):
9RH1^2 - 9RHni^2 approx 3RH4
Simplificando:
9 - 9ni^2 approx 34
9ni^2 approx 9 - 34 = 334
ni^2 approx 9334 = 3633 approx 1.09
Como ni deve ser inteiro, a transição mais próxima é de ni=1 para nf=2.
Para uma transição semelhante à Lyman β ( De):
9RH1^2 - 9RHni^2 approx 8RH9
Simplificando:
9 - 9ni^2 approx 89
9ni^2 approx 9 - 89 = 739
ni^2 approx 9739 = 8173 approx 1.11
Novamente, ni=1 dá a transição mais próxima.

Resposta

As transições no Li^2+ que geram linhas de emissão com comprimentos de onda quase iguais às duas primeiras linhas da série de Lyman no hidrogênio são de n=2 para n=1 e de n=3 para n=1.

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