Uma função de onda não normalizada para um elétron em um nanotubo de carbono de comprimento é . Normalize essa função de onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de onda não normalizada para um elétron em um nanotubo de carbono que é . Nosso objetivo é normalizar essa função, ou seja, ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar o elétron no nanotubo seja igual a 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de normalização de funções de onda na mecânica quântica e um pouco de cálculo, como integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar uma função de onda. Normalizar significa encontrar uma constante tal que a função normalizada satisfaça a condição:
Isso garante que a probabilidade total de encontrar o elétron no comprimento do nanotubo seja 1.

Passo 3

Vamos calcular o módulo ao quadrado da função de onda original:
A normalização envolve integrar essa expressão de a e igualar a 1 após multiplicar por .

Passo 4

Vamos montar a equação da normalização:
Nosso próximo passo é calcular essa integral.

Passo 5

Lembrando que existe uma identidade trigonométrica útil para integrar :
Vamos aplicar essa identidade à nossa integral.

Passo 6

Aplicando a identidade trigonométrica:
Isso simplifica a integração.

Passo 7

Vamos dividir a integral em duas partes:
Calculamos cada parte separadamente.

Passo 8

Calculando as integrais:
E
Porque e .

Passo 9

Portanto, a integral original fica:
Agora, voltando à equação da normalização:
Resolvendo para :

Resposta

A função de onda normalizada é:

Exercícios relacionados

Quais as vantagens de se trabalhar com funções de onda normalizadas?
Normalize (para 1) a função de onda no intervalo , com . Utilize tabelas de integrais, se necessário.
1
Para uma partícula que se move livremente em uma dimensão e que tem como função de onda no intervalo , com , qual a probabilidade de encontrar a partícula a uma distância ? (Normalize a função antes do cálculo da probabilidade. Utilize um software matemático, se necessário.
Uma função de onda normalizada para uma partícula confinada entre 0 e na direção , e entre 0 e na direção (ou seja, em um quadrado de lado ) é
A probabilidade de encontrar a partícula entre e ao longo de , e e ao longo de é
Calcule a probabilidade de que a partícula esteja entre (a) e e (b) e , e