Uma função de onda não normalizada para um elétron em um nanotubo de carbono de comprimento
é
. Normalize essa função de onda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função de onda não normalizada para um elétron em um nanotubo de carbono que é
. Nosso objetivo é normalizar essa função, ou seja, ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar o elétron no nanotubo seja igual a 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de normalização de funções de onda na mecânica quântica e um pouco de cálculo, como integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa normalizar uma função de onda. Normalizar
significa encontrar uma constante
tal que a função normalizada
satisfaça a condição:
Isso garante que a probabilidade total de encontrar o elétron no comprimento
do nanotubo seja 1.
Passo 3
Vamos calcular o módulo ao quadrado da função de onda original:
A normalização envolve integrar essa expressão de
a
e igualar a 1 após multiplicar por
.
Passo 4
Vamos montar a equação da normalização:
Nosso próximo passo é calcular essa integral.
Passo 5
Lembrando que existe uma identidade trigonométrica útil para integrar
:
Vamos aplicar essa identidade à nossa integral.
Passo 6
Aplicando a identidade trigonométrica:
Isso simplifica a integração.
Passo 7
Vamos dividir a integral em duas partes:
Calculamos cada parte separadamente.
Passo 8
Calculando as integrais:
E
Porque
e
.
Passo 9
Portanto, a integral original fica:
Agora, voltando à equação da normalização:
Resolvendo para
:
Resposta
A função de onda normalizada é: