Uma função de onda não normalizada para um elétron em um nanotubo de carbono de comprimento L é psi(x)= sin (2 pi x / L). Normalize essa função de onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de onda não normalizada para um elétron em um nanotubo de carbono que é psi(x) = sin(2pi xL). Nosso objetivo é normalizar essa função, ou seja, ajustar a função para que a probabilidade total de encontrar o elétron no nanotubo seja igual a 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de normalização de funções de onda na mecânica quântica e um pouco de cálculo, como integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar uma função de onda. Normalizar psi(x) significa encontrar uma constante N tal que a função normalizada psinormalizada(x) = N cdot psi(x) satisfaça a condição:
integral0^L |psinormalizada(x)|^2 , dx = 1
Isso garante que a probabilidade total de encontrar o elétron no comprimento L do nanotubo seja 1.

Passo 3

Vamos calcular o módulo ao quadrado da função de onda original:
|psi(x)|^2 = [sin(2pi xL)]^2 = sin^2(2pi xL)
A normalização envolve integrar essa expressão de 0 a L e igualar a 1 após multiplicar por N^2.

Passo 4

Vamos montar a equação da normalização:
N^2 integral0^L sin^2(2pi xL) , dx = 1
Nosso próximo passo é calcular essa integral.

Passo 5

Lembrando que existe uma identidade trigonométrica útil para integrar sin^2(ax):
sin^2(ax) = 1 - cos(2ax)2
Vamos aplicar essa identidade à nossa integral.

Passo 6

Aplicando a identidade trigonométrica:
integral0^L sin^2(2pi xL) , dx = integral0^L 1 - cos(4pi xL)2 , dx
Isso simplifica a integração.

Passo 7

Vamos dividir a integral em duas partes:
12 integral0^L 1 , dx - 12 integral0^L cos(4pi xL) , dx
Calculamos cada parte separadamente.

Passo 8

Calculando as integrais:
12 integral0^L 1 , dx = 12 [x]0^L = L2
E
12 integral0^L cos(4pi xL) , dx = 12 [ L4pi sin(4pi xL) ]0^L = L8pi [ sin(4pi) - sin(0) ] = 0
Porque sin(4pi) = 0 e sin(0) = 0.

Passo 9

Portanto, a integral original fica:
integral0^L sin^2(2pi xL) , dx = L2
Agora, voltando à equação da normalização:
N^2 cdot L2 = 1
Resolvendo para N:
N^2 = 2L Rightarrow N = raiz2L

Resposta

A função de onda normalizada é:
psinormalizada(x) = raiz2L cdot sin(2pi xL)

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