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Para uma partícula que se move livremente em uma dimensão e que tem como função de onda psi(x)=e^-a x no intervalo (0 <= x, com a=2, qual a probabilidade de encontrar a partícula a uma distância x >= 1 m ? (Normalize a função antes do cálculo da probabilidade. Utilize um software matemático, se necessário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a probabilidade de encontrar uma partícula a uma distância metro, dada a função de onda no intervalo , onde . Para isso, precisamos:
  • Normalizar a função de onda: Isso garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1.
  • Calcular a probabilidade no intervalo desejado: Depois de normalizada, vamos integrar a probabilidade densidade de .
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. A condição de normalização é:
integral0^infty |psi(x)|^2 dx = 1
Como |psi(x)|^2 = e^-2a x = e^-4x e integral0^infty e^-4x dx = 1 , temos:
Então, a integral fica:
Vamos resolver essa integral para encontrar a constante de normalização.

Passo 3

A integral de integral0^infty e^-k x dx = 1k de 0 a integral0^infty e^-4x dx = 14 é:
N^2 cdot 14 = 1 implies N = 2
No nosso caso, psinormalizada(x) = 2 e^-2x , então:
Para que a função de onda seja normalizada, precisamos que essa integral seja igual a 1. Portanto, multiplicamos por uma constante de tal forma que:
Então, a função de onda normalizada é:

Passo 4

Agora que temos a função de onda normalizada, vamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula a uma distância P(x >= 1) = integral1^infty |psinormalizada(x)|^2 dx metro. A probabilidade |psinormalizada(x)|^2 = (2 e^-2x)^2 = 4 e^-4x é dada pela integral da densidade de probabilidade P(x >= 1) = integral1^infty 4 e^-4x dx de 1 a :
Substituindo :
Então:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
P(x >= 1) = 4 integral1^infty e^-4x dx
Sabemos que:
integral e^-kx dx = -1k e^-kx + C
Aplicando os limites de 1 a P(x >= 1) = 4 [ -14 e^-4x |1^infty ] :
P(x >= 1) = 4 ( 0 - ( -14 e^-4 ) ) = 4 ( 14 e^-4 ) = e^-4
Calculando:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então:

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula a uma distância metro é , ou aproximadamente 0,0183 (1,83%).

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