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Para uma partícula que se move livremente em uma dimensão e que tem como função de onda no intervalo , com , qual a probabilidade de encontrar a partícula a uma distância ? (Normalize a função antes do cálculo da probabilidade. Utilize um software matemático, se necessário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a probabilidade de encontrar uma partícula a uma distância metro, dada a função de onda no intervalo , onde . Para isso, precisamos:
Normalizar a função de onda: Isso garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1.
Calcular a probabilidade no intervalo desejado: Depois de normalizada, vamos integrar a probabilidade densidade de .
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda. A condição de normalização é:
Como e , temos:
Então, a integral fica:
Vamos resolver essa integral para encontrar a constante de normalização.
Passo 3
A integral de de 0 a é:
No nosso caso, , então:
Para que a função de onda seja normalizada, precisamos que essa integral seja igual a 1. Portanto, multiplicamos por uma constante de tal forma que:
Então, a função de onda normalizada é:
Passo 4
Agora que temos a função de onda normalizada, vamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula a uma distância metro. A probabilidade é dada pela integral da densidade de probabilidade de 1 a :
Substituindo :
Então:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Sabemos que:
Aplicando os limites de 1 a :
Calculando:
Quando ,
Quando ,
Então:
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula a uma distância metro é , ou aproximadamente 0,0183 (1,83%).