Uma função de onda normalizada para uma partícula confinada entre 0 e
na direção
, e entre 0 e
na direção
(ou seja, em um quadrado de lado
) é
A probabilidade de encontrar a partícula entre
e
ao longo de
, e
e
ao longo de
é
Calcule a probabilidade de que a partícula esteja entre (a)
e
e
(b)
e
,
e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função de onda normalizada para uma partícula que tá confinada num quadrado de lado
nas direções
e
. A função de onda é dada por:
O que isso significa? Bem, essa função descreve a probabilidade de encontrar a partícula em um ponto específico dentro do quadrado. A gente precisa calcular a probabilidade de encontrar a partícula em determinadas regiões desse quadrado, seguindo a fórmula da probabilidade:
Para resolver, vamos precisar entender como integrar a função de onda ao quadrado sobre os intervalos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Isso significa elevar a função de onda ao quadrado:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a probabilidade
para os casos (a) e (b) usando a integral dupla. Vamos fazer isso separadamente para cada caso.
Caso (a):
entre
e
, e
entre
e
.
A probabilidade será:
Passo 4
Note que as integrais em
e
são independentes, então podemos separar a integral dupla em duas integrais simples:
Passo 5
Vamos lembrar que a integral de
é:
Aplicando isso para
:
Porque
.
Passo 6
Assim, cada integral simples vale
, então:
Passo 7
Caso (b):
entre
e
, e
entre
e
.
A probabilidade será:
Passo 8
Novamente, separamos as integrais:
Passo 9
Calculando uma das integrais simples:
Vamos calcular:
Simplificando:
Sabendo que
e
:
Passo 10
Portanto, cada integral simples no caso (b) vale
, então:
Simplificando:
Resposta
(a) A probabilidade é
.
(b) A probabilidade é
.