Uma função de onda normalizada para uma partícula confinada entre 0 e na direção , e entre 0 e na direção (ou seja, em um quadrado de lado ) é
A probabilidade de encontrar a partícula entre e ao longo de , e e ao longo de é
Calcule a probabilidade de que a partícula esteja entre (a) e e (b) e , e

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função de onda normalizada para uma partícula que tá confinada num quadrado de lado nas direções e . A função de onda é dada por:
O que isso significa? Bem, essa função descreve a probabilidade de encontrar a partícula em um ponto específico dentro do quadrado. A gente precisa calcular a probabilidade de encontrar a partícula em determinadas regiões desse quadrado, seguindo a fórmula da probabilidade:
Para resolver, vamos precisar entender como integrar a função de onda ao quadrado sobre os intervalos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Isso significa elevar a função de onda ao quadrado:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a probabilidade para os casos (a) e (b) usando a integral dupla. Vamos fazer isso separadamente para cada caso.
Caso (a): entre e , e entre e .
A probabilidade será:

Passo 4

Note que as integrais em e são independentes, então podemos separar a integral dupla em duas integrais simples:

Passo 5

Vamos lembrar que a integral de é:
Aplicando isso para :
Porque .

Passo 6

Assim, cada integral simples vale , então:

Passo 7

Caso (b): entre e , e entre e .
A probabilidade será:

Passo 8

Novamente, separamos as integrais:

Passo 9

Calculando uma das integrais simples:
Vamos calcular:
Simplificando:
Sabendo que e :

Passo 10

Portanto, cada integral simples no caso (b) vale , então:
Simplificando:

Resposta

(a) A probabilidade é .
(b) A probabilidade é .

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