Uma função de onda normalizada para uma partícula confinada entre 0 e L na direção x, e entre 0 e L na direção y (ou seja, em um quadrado de lado L ) é
psi(x, y)=(2L) sin (pi xL) sin (pi yL)
A probabilidade de encontrar a partícula entre x1 e x2 ao longo de x, e y1 e y2 ao longo de y é
P=integraly1^y2 integralx1^x2 psi^2(x, y) d x d y
Calcule a probabilidade de que a partícula esteja entre (a) x=0 e x=L / 2, y=0 e y=L / 2 ; (b) x=L / 4 e x=3 L / 4, y=L / 4 e y=3 L / 4

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função de onda normalizada para uma partícula que tá confinada num quadrado de lado psi(x, y) = (2L) sin(pi xL) sin(pi yL) nas direções P = integraly1^y2 integralx1^x2 psi^2(x, y) , dx , dy e . A função de onda é dada por:
O que isso significa? Bem, essa função descreve a probabilidade de encontrar a partícula em um ponto específico dentro do quadrado. A gente precisa calcular a probabilidade de encontrar a partícula em determinadas regiões desse quadrado, seguindo a fórmula da probabilidade:
Para resolver, vamos precisar entender como integrar a função de onda ao quadrado sobre os intervalos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular psi^2(x, y) = (2L)^2 sin^2(pi xL) sin^2(pi yL) = 4L^2 sin^2(pi xL) sin^2(pi yL) . Isso significa elevar a função de onda ao quadrado:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a probabilidade Pa = integral0^L2 integral0^L2 4L^2 sin^2(pi xL) sin^2(pi yL) , dx , dy para os casos (a) e (b) usando a integral dupla. Vamos fazer isso separadamente para cada caso.
Caso (a): entre e , e entre e .
A probabilidade será:

Passo 4

Note que as integrais em Pa = 4L^2 ( integral0^L2 sin^2(pi xL) dx ) ( integral0^L2 sin^2(pi yL) dy ) e são independentes, então podemos separar a integral dupla em duas integrais simples:

Passo 5

Vamos lembrar que a integral de integral sin^2(kx) , dx = x2 - sin(2kx)4k + C é:
integral0^L2 sin^2(pi xL) dx = [ x2 - sin(2pi xL)4 cdot piL ]0^L2 = L4 - sin(pi)4 cdot piL + 0 = L4
Aplicando isso para :
Porque .

Passo 6

Assim, cada integral simples vale Pa = 4L^2 times L4 times L4 = 4L^2 times L^216 = 416 = 14 , então:

Passo 7

Caso (b): Pb = integralL4^3L4 integralL4^3L4 4L^2 sin^2(pi xL) sin^2(pi yL) , dx , dy entre e , e entre e .
A probabilidade será:

Passo 8

Novamente, separamos as integrais:
Pb = 4L^2 ( integralL4^3L4 sin^2(pi xL) dx ) ( integralL4^3L4 sin^2(pi yL) dy )

Passo 9

Calculando uma das integrais simples:
integralL4^3L4 sin^2(pi xL) dx = [ x2 - sin(2pi xL)4 cdot piL ]L4^3L4
Vamos calcular:
= ( 3L4 cdot 2 - sin(6pi4)4 cdot piL ) - ( L4 cdot 2 - sin(2pi4)4 cdot piL )
Simplificando:
= ( 3L8 - sin(3pi2) L4pi ) - ( L8 - sin(pi2) L4pi )
Sabendo que = ( 3L8 + L4pi ) - ( L8 - L4pi ) = 3L8 + L4pi - L8 + L4pi = 2L8 + 2L4pi = L4 + L2pi e :

Passo 10

Portanto, cada integral simples no caso (b) vale Pb = 4L^2 times ( L4 + L2pi )^2 = 4L^2 times ( L^216 + L^24pi + L^24pi^2 ) = 4L^2 times L^216 ( 1 + 4pi + 4pi^2 ) = 14 ( 1 + 4pi + 4pi^2 ) , então:
Pb = 14 + 1pi + 1pi^2
Simplificando:

Resposta

(a) A probabilidade é .
(b) A probabilidade é .

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