A função de onda de uma partícula é escrita como a superposição de estados estacionários:
Psi(x)=12[psi1(x)+(1-i) psi2(x)+B psi3(x)]
com as correspondentes energias E1=1 eV, E2=2 eV e E3=3 eV. (a) Determine B;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma função de onda que é uma mistura de três estados estacionários , e com energias diferentes. A missão aqui é descobrir o valor de que está na expressão dessa função. Pra resolver isso, vamos precisar entender sobre superposição de estados e normalização das funções de onda, que garantem que a probabilidade total de encontrar a partícula seja 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pra funções de onda superpostas, a probabilidade total deve ser igual a 1. Isso é a normalização, garantindo que a partícula exista em algum lugar.

Passo 3

Vamos calcular Psi(x) = 12[psi1(x) + (1-i)psi2(x) + B psi3(x)] . Dado que:
|Psi(x)|^2 = (12)^2 [|psi1(x)|^2 + |1-i|^2|psi2(x)|^2 + |B|^2|psi3(x)|^2 + termos cruzados]
Ao calcular o módulo ao quadrado, temos:
Como os estados , e são ortonormais, os termos cruzados se anulam na integral.

Passo 4

Então, a integral da probabilidade fica:
integral |Psi(x)|^2 dx = 14 [ integral |psi1(x)|^2 dx + |1-i|^2 integral |psi2(x)|^2 dx + |B|^2 integral |psi3(x)|^2 dx ]
Sabendo que cada integral |psin(x)|^2 dx = 1 para todo n é normalizada, temos:
14 [1 + |1-i|^2 + |B|^2] = 1
Então:

Passo 5

Vamos calcular |1-i|^2 = (1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2 :
14 [1 + 2 + |B|^2] = 1
Substituindo na equação:
1 + 2 + |B|^2 = 4
Multiplicando os dois lados por 4:
|B|^2 = 1 implies |B| = 1
Simplificando:

Resposta

O valor de é tal que .

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