Mostre que a intensidade de onda sonora I pode ser escrita em termos da frequiência f e amplitude de deslocamento sm na forma
I=2 pi^2 rho v f^2 sm^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a intensidade de uma onda sonora I = 2 pi^2 rho v f^2 sm^2 pode ser expressa em termos da frequência e da amplitude de deslocamento pela fórmula:
Aqui, estamos lidando com ondas sonoras, que é o tópico principal. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como intensidade da onda, amplitude de deslocamento, frequência, densidade do meio ( ) e velocidade da onda sonora ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é intensidade da onda sonora. A intensidade ( I = PA ) é a quantidade de energia que a onda transporta por unidade de área por unidade de tempo. Matematicamente, é dada por:
Onde:
  • é a potência da onda.
  • é a área pela qual a onda está passando.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar a potência ( P = F cdot vmedia ) com a amplitude de deslocamento ( ). A potência de uma onda sonora pode ser expressa como:
Onde:
  • é a força média que a onda exerce.
  • é a velocidade média das partículas no meio devido à onda.

Passo 4

A força média ( F = m cdot a ) em uma onda sonora está relacionada à amplitude do deslocamento ( a = - (2 pi f)^2 sm ) e à densidade do meio ( ), além da frequência ( ) e velocidade da onda ( ). Podemos expressar isso usando a seguinte relação:
Onde é a massa das partículas afetadas pela onda e é a aceleração. A aceleração pode ser relacionada à amplitude e à frequência pela fórmula:

Passo 5

Substituindo a aceleração na expressão da força:
F = m cdot (- (2 pi f)^2 sm)
Como estamos interessados na força média, podemos desconsiderar o sinal negativo:
F = m cdot (2 pi f)^2 sm

Passo 6

A massa ( m = rho A De) das partículas pode ser relacionada à densidade ( ) e ao volume. Considerando uma área e uma espessura , temos:

Passo 7

A velocidade média das partículas ( vmedia = v cdot (2 pi f sm) ) pode ser relacionada à velocidade da onda ( ) e à frequência:

Passo 8

Agora, substituindo P = F cdot vmedia = (rho A De e P = rho A De nas expressões de I = PA = rho v cdot (2 pi f)^3 sm^2 cdot De e depois em I = 2 pi^2 rho v f^2 sm^2 :
Simplificando:
Agora, dividindo pela área para obter a intensidade:
Assumindo que é pequeno e integrado ao longo da onda, simplificamos para:

Resposta

Portanto, mostramos que a intensidade da onda sonora I = 2 pi^2 rho v f^2 sm^2 é dada por:

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