Mostre que a intensidade de onda sonora
pode ser escrita em termos da frequiência
e amplitude de deslocamento
na forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a intensidade de uma onda sonora
pode ser expressa em termos da frequência
e da amplitude de deslocamento
pela fórmula:
Aqui, estamos lidando com ondas sonoras, que é o tópico principal. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como intensidade da onda, amplitude de deslocamento, frequência, densidade do meio (
) e velocidade da onda sonora (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é intensidade da onda sonora. A intensidade (
) é a quantidade de energia que a onda transporta por unidade de área por unidade de tempo. Matematicamente, é dada por:
Onde:
-
é a potência da onda. -
é a área pela qual a onda está passando.
Passo 3
Agora, precisamos relacionar a potência (
) com a amplitude de deslocamento (
). A potência de uma onda sonora pode ser expressa como:
Onde:
-
é a força média que a onda exerce. -
é a velocidade média das partículas no meio devido à onda.
Passo 4
A força média (
) em uma onda sonora está relacionada à amplitude do deslocamento (
) e à densidade do meio (
), além da frequência (
) e velocidade da onda (
). Podemos expressar isso usando a seguinte relação:
Onde
é a massa das partículas afetadas pela onda e
é a aceleração. A aceleração pode ser relacionada à amplitude e à frequência pela fórmula:
Passo 5
Substituindo a aceleração na expressão da força:
Como estamos interessados na força média, podemos desconsiderar o sinal negativo:
Passo 6
A massa (
) das partículas pode ser relacionada à densidade (
) e ao volume. Considerando uma área
e uma espessura
, temos:
Passo 7
A velocidade média das partículas (
) pode ser relacionada à velocidade da onda (
) e à frequência:
Passo 8
Agora, substituindo
e
nas expressões de
e depois em
:
Simplificando:
Agora, dividindo pela área
para obter a intensidade:
Assumindo que
é pequeno e integrado ao longo da onda, simplificamos para:
Resposta
Portanto, mostramos que a intensidade da onda sonora
é dada por:
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e
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;
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e
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;
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e
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