A função de onda de uma partícula de massa movendo-se em um potencial é , onde e são constantes. Encontre a forma explícita do potencial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de onda de uma partícula, que descreve como ela se comporta no espaço e no tempo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o potencial que está agindo sobre essa partícula. Para isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger dependente do tempo, que é fundamental na mecânica quântica para relacionar a energia da partícula com sua função de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em um potencial :
Aqui, é a função de onda, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é o potencial que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias da função de onda .
Primeiro, a derivada em relação ao tempo:
Agora, a primeira derivada em relação ao espaço:
E a segunda derivada em relação ao espaço:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na equação de Schrödinger:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:

Passo 5

Igualando os dois lados da equação:
Vamos subtrair de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por (que não é zero):

Resposta

Portanto, a forma explícita do potencial é:

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Uma particula quântica esta confinada num poço de potencial infinito e unidimensional, entre . Para a função de onda do sistema é: , onde e são constates de normalização.
(a) Encontre a função de onda para o tempo .