A função de onda de uma partícula que se move em uma dimensão entre duas paredes separadas por uma distância L é Psi(x)=A sen(pi x / L). Supondo que a partícula não pode deixar a região entre as paredes, qual é o valor de A?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que se move numa dimensão entre duas paredes distantes . A função de onda dessa partícula é dada por . A gente precisa descobrir o valor de sabendo que a partícula não pode sair dessa região entre as paredes.
Aqui, estamos lidando com funções de onda da mecânica quântica e, mais especificamente, com a normalização da função de onda. A normalização garante que a probabilidade de encontrar a partícula em algum lugar dentro das paredes seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função de onda ser válida, ela precisa ser normalizada. Isso significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço onde a partícula pode estar deve ser igual a 1:
integral0^L |Psi(x)|^2 , dx = 1
Substituindo integral0^L |A sin(pi xL)|^2 , dx = 1 pela função dada:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. O módulo ao quadrado de |A sin(pi xL)|^2 = A^2 sin^2(pi xL) é:
A^2 integral0^L sin^2(pi xL) , dx = 1
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2 . Sabemos que:
sin^2(pi xL) = 1 - cos(2pi xL)2
Aplicando isso:
A^2 integral0^L 1 - cos(2pi xL)2 , dx = 1
Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos separar a integral:
A^2 [ 12 integral0^L 1 , dx - 12 integral0^L cos(2pi xL) , dx ] = 1
Calculando cada parte:
  1. A^2 ( L2 - 0 ) = 1
  2. (porque )
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, resolvemos para A^2 cdot L2 = 1 implies A^2 = 2L :
A = raiz2L
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

O valor de é .

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