Mostre que a função de onda
não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo mas satisfaz a equação dependente do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para a gente verificar se a função de onda
satisfaz ou não a equação de Schrödinger dependente do tempo e, aparentemente, a equação de Schrödinger independente do tempo (acho que teve um errinho no enunciado). A matéria aqui é mecânica quântica, mais especificamente a equação de Schrödinger, que é fundamental para entender como as partículas se comportam quânticamente. Para resolver isso, a gente vai precisar aplicar a função de onda nas duas formas da equação de Schrödinger e ver se a igualdade se mantém.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação de Schrödinger dependente do tempo:
Aqui,
é a unidade imaginária,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula, e
é o potencial.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas da nossa função de onda $ \Psi(x, t) = A e^{(k x - \omega t)} $ em relação a
e
:
Primeira derivada em relação ao tempo
:
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na equação de Schrödinger dependente do tempo:
Simplificando:
Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Passo 5
Rearranjando a equação para isolar
:
Aqui vemos que o potencial
resultaria em um termo imaginário devido a
. Como o potencial físico deve ser real, isso significa que nossa função de onda não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo a menos que
, o que tornaria a função de onda estática.
Passo 6
Agora, vamos verificar a equação de Schrödinger independente do tempo. Essa equação assume que a energia estática
é constante e a função de onda pode ser separada em parte espacial e temporal:
Onde
.
Nossa função de onda é $ \Psi(x, t) = A e^{(k x - \omega t)} $, que pode ser escrita como $ \psi(x) = A e^{k x} $ e $ E = \hbar \omega $.
Substituindo na equação:
Dividindo por
:
Rearranjando:
Aqui, não temos termos imaginários, então podemos definir o potencial
de forma que a equação seja satisfeita. Portanto, a função de onda satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo.
Resposta
A função de onda
não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, mas satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo quando o potencial é definido como
.