Mostre que a função de onda Psi(x, t)=A e^(k x-omega t) não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo mas satisfaz a equação dependente do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para a gente verificar se a função de onda Psi(x, t) = A e^(k x - omega t) satisfaz ou não a equação de Schrödinger dependente do tempo e, aparentemente, a equação de Schrödinger independente do tempo (acho que teve um errinho no enunciado). A matéria aqui é mecânica quântica, mais especificamente a equação de Schrödinger, que é fundamental para entender como as partículas se comportam quânticamente. Para resolver isso, a gente vai precisar aplicar a função de onda nas duas formas da equação de Schrödinger e ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de Schrödinger dependente do tempo:
ihbar partial Psipartial t = -hbar^22m partial^2 Psipartial x^2 + V(x) Psi
Aqui, i é a unidade imaginária, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, e V(x) é o potencial.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas da nossa função de onda $ \Psi(x, t) = A e^{(k x - \omega t)} $ em relação a Psi(x, t) = A e^(k x - omega t) e t:
Primeira derivada em relação ao tempo x:
t
Primeira derivada em relação a partial Psipartial t = -omega A e^(k x - omega t) = -omega Psi :
x
Segunda derivada em relação a partial Psipartial x = k A e^(k x - omega t) = k Psi :
x

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação de Schrödinger dependente do tempo:
ihbar (-omega Psi) = -hbar^22m (k^2 Psi) + V(x) Psi
Simplificando:
-ihbar omega Psi = -hbar^2 k^22m Psi + V(x) Psi
Podemos dividir ambos os lados por Psi (desde que Psi neq 0):
-ihbar omega = -hbar^2 k^22m + V(x)

Passo 5

Rearranjando a equação para isolar V(x):
V(x) = -ihbar omega + hbar^2 k^22m
Aqui vemos que o potencial V(x) resultaria em um termo imaginário devido a -ihbar omega. Como o potencial físico deve ser real, isso significa que nossa função de onda não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo a menos que omega = 0, o que tornaria a função de onda estática.

Passo 6

Agora, vamos verificar a equação de Schrödinger independente do tempo. Essa equação assume que a energia estática E é constante e a função de onda pode ser separada em parte espacial e temporal:
-hbar^22m d^2 psidx^2 + V(x) psi = E psi
Onde Psi(x, t) = psi(x) e^-iEt/hbar.
Nossa função de onda é $ \Psi(x, t) = A e^{(k x - \omega t)} $, que pode ser escrita como $ \psi(x) = A e^{k x} $ e $ E = \hbar \omega $.
Substituindo na equação:
Psi(x, t) = A e^(k x - omega t)
Dividindo por psi(x) = A e^k x :
E = hbar omega
Rearranjando:
-hbar^22m (k^2 A e^k x) + V(x) A e^k x = hbar omega A e^k x
Aqui, não temos termos imaginários, então podemos definir o potencial A e^k x de forma que a equação seja satisfeita. Portanto, a função de onda satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo.

Resposta

A função de onda Psi(x, t) = A e^(k x - omega t) não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, mas satisfaz a equação de Schrödinger independente do tempo quando o potencial é definido como V(x) = hbar omega + hbar^2 k^22m.

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