Indutância de um solenoide. (b) Uma mola metálica de laboratório normalmente possui 5,00 cm de comprimento e 0,150 cm de diâmetro, com 50 voltas. Se você conectar essa mola a um circuito elétrico, quanta autoindutância deverá ser incluída para que ela seja modelada como um solenoide ideal?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma mola metálica de laboratório com 5,00 cm de comprimento, 0,150 cm de diâmetro e 50 voltas. A pergunta é: qual a autoindutância que a gente precisa considerar pra modelar essa mola como um solenoide ideal quando ela for ligada a um circuito elétrico? Pra resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a fórmula da indutância de um solenoide.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a indutância $ L $ de um solenoide. A fórmula é:
L
Onde:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} \ T\cdotm/A $)
  • $ N $ é o número de voltas do solenoide
  • $ A $ é a área da seção transversal do solenoide
  • $ l $ é o comprimento do solenoide

Passo 3

Vamos começar convertendo todas as medidas para o Sistema Internacional de Unidades (SI).
  • Comprimento $ l = 5,00 \ cm = 0,05 \ m $
  • Diâmetro $ d = 0,150 \ cm = 0,0015 \ m $
  • Raio $ r = \frac{d}{2} = 0,00075 \ m $

Passo 4

Agora, vamos calcular a área da seção transversal $ A $ do solenoide. A área de um círculo é dada por:
A
Substituindo o valor de $ r $:
A = pi r^2

Passo 5

Com todos os valores prontos, vamos substituir na fórmula da indutância:
L = mu0 N^2 Al
Onde:
  • $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T\cdotm/A $
  • $ N = 50 $
  • $ A = 1,7671 \times 10^{-6} \ m^2 $
  • $ l = 0,05 \ m $

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
L = 4pi times 10^-7 times 50^2 times 1,7671 times 10^-60,05
Calculando passo a passo:
50^2 = 2500
2500 times 1,7671 times 10^-6 = 4,41775 times 10^-3
4,41775 times 10^-30,05 = 8,835 times 10^-2
4pi times 10^-7 times 8,835 times 10^-2 approx 4 times 3,1416 times 10^-7 times 8,835 times 10^-2
approx 12,5664 times 10^-7 times 8,835 times 10^-2
approx 1,1106 times 10^-7 H
approx 1,11 times 10^-7 H

Resposta

A autoindutância que deve ser incluída para modelar a mola como um solenoide ideal é aproximadamente $ 1,11 \times 10^{-7} \ Henry $ (ou 111 nH).

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