Um ioiô possui um momento de inércia de 950 g cdot cm^2 e uma massa de 120 g. O raio do eixo é 3,2 mm e a corda tem 120 cm de comprimento. O ioiô rola para baixo, a partir do repouso, até a extremidade da corda. Ao chegar à extremidade da corda, qual é © a velocidade linear?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um ioiô com um momento de inércia de 950 , g cdot cm^2, massa de 120 g, raio do eixo de 3,2 mm e comprimento da corda de 120 cm. O ioiô começa do repouso e desce até o fim da corda. Queremos descobrir qual é a velocidade linear do ioiô quando chega na extremidade da corda. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica, mais especificamente a conservação da energia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando o ioiô está no topo, ele tem energia potencial gravitacional e nenhuma energia cinética porque está em repouso. À medida que ele desce, essa energia potencial se transforma em energia cinética de translação (movimento para baixo) e energia cinética de rotação (giro do ioiô). A soma dessas energias deve ser igual à energia potencial inicial.

Passo 3

Vamos escrever a equação da conservação da energia. A energia potencial inicial ( Ep) é dada por:
Ep = m cdot g cdot h
onde:
  • m = 120 , g = 0,120 , kg (convertendo para kg),
  • g = 9,8 , m/s^2 (aceleração da gravidade),
  • h = 120 , cm = 1,20 , m (altura, igual ao comprimento da corda).

Passo 4

A energia cinética total ( Ec) no fundo é a soma da energia cinética de translação ( Ec, trans) e da energia cinética de rotação ( Ec, rot):
Ec = 12 m v^2 + 12 I omega^2
onde:
  • v é a velocidade linear que queremos encontrar,
  • I = 950 , g cdot cm^2 = 0,095 , kg cdot m^2 (convertendo para unidades do SI),
  • omega é a velocidade angular.

Passo 5

Sabemos que a corda está enrolada no eixo do ioiô, então a velocidade linear v está relacionada com a velocidade angular omega pela relação:
v = omega cdot r
onde r = 3,2 , mm = 0,0032 , m é o raio do eixo.

Passo 6

Vamos substituir omega por v/r na equação de energia cinética:
Ec = 12 m v^2 + 12 I ( vr )^2
Simplificando:
Ec = 12 m v^2 + 12 cdot Ir^2 cdot v^2
Ec = ( 12 m + I2 r^2 ) v^2

Passo 7

Igualando a energia potencial inicial à energia cinética final:
m g h = ( 12 m + I2 r^2 ) v^2
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
2 m g h = ( m + Ir^2 ) v^2
Isolando v^2:
v^2 = 2 m g hm + Ir^2

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores numéricos na equação:
v^2 = 2 cdot 0,120 , kg cdot 9,8 , m/s^2 cdot 1,20 , m0,120 , kg + 0,095 , kg cdot m^2(0,0032 , m)^2
Calculando o denominador primeiro:
0,095(0,0032)^2 = 0,0950,00001024 approx 9273,44 , kg
Então:
v^2 = 2 cdot 0,120 cdot 9,8 cdot 1,200,120 + 9273,44 approx 2,82249273,56 approx 0,000304 , m^2/s^2

Resposta

A velocidade linear do ioiô ao chegar na extremidade da corda é aproximadamente 0,0175 , m/s.

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