Um ioiô possui um momento de inércia de
e uma massa de 120 g. O raio do eixo é
e a corda tem 120 cm de comprimento. O ioiô rola para baixo, a partir do repouso, até a extremidade da corda. Ao chegar à extremidade da corda, qual é © a velocidade linear?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um ioiô com um momento de inércia de
, massa de 120 g, raio do eixo de 3,2 mm e comprimento da corda de 120 cm. O ioiô começa do repouso e desce até o fim da corda. Queremos descobrir qual é a velocidade linear do ioiô quando chega na extremidade da corda. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica, mais especificamente a conservação da energia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando o ioiô está no topo, ele tem energia potencial gravitacional e nenhuma energia cinética porque está em repouso. À medida que ele desce, essa energia potencial se transforma em energia cinética de translação (movimento para baixo) e energia cinética de rotação (giro do ioiô). A soma dessas energias deve ser igual à energia potencial inicial.
Passo 3
Vamos escrever a equação da conservação da energia. A energia potencial inicial (
) é dada por:
onde:
-
(convertendo para kg), -
(aceleração da gravidade), -
(altura, igual ao comprimento da corda).
Passo 4
A energia cinética total (
) no fundo é a soma da energia cinética de translação (
) e da energia cinética de rotação (
):
onde:
-
é a velocidade linear que queremos encontrar, -
(convertendo para unidades do SI), -
é a velocidade angular.
Passo 5
Sabemos que a corda está enrolada no eixo do ioiô, então a velocidade linear
está relacionada com a velocidade angular
pela relação:
onde
é o raio do eixo.
Passo 6
Vamos substituir
por
na equação de energia cinética:
Simplificando:
Passo 7
Igualando a energia potencial inicial à energia cinética final:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Isolando
:
Passo 8
Agora, vamos substituir os valores numéricos na equação:
Calculando o denominador primeiro:
Então:
Resposta
A velocidade linear do ioiô ao chegar na extremidade da corda é aproximadamente
.