A função de onda radial para o orbital 4 d do átomo de hidrogênio é
R42(r)=(a0)^2 / 396 raiz5(6-12 a0 r) cdot 14 a0^2 r^2 cdot exp (-14 a0 r)
Calcule o valor de r correspondente à cada um dos nós radiais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre a função de onda radial do orbital 4d do átomo de hidrogênio. A gente vai precisar entender um pouco de física quântica, especialmente sobre funções de onda e nós radiais. Nosso objetivo é encontrar o valor de r onde a função de onda radial R42(r) se anula, ou seja, onde ela é igual a zero. Esse ponto é chamado de nó radial.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função de onda radial que você me deu:
R42(r) = (a0)^2 / 396 raiz5 (6 - 12 a0 r) cdot 14 a0^2 r^2 cdot exp (-14 a0 r)
Queremos encontrar os valores de r que tornam R42(r) = 0.

Passo 3

Para encontrar onde a função de onda é zero, vamos analisar cada parte da expressão multiplicativa. Uma função produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for zero. Então, vamos identificar os termos que podem ser iguais a zero:
  1. (6 - 12 a0 r) = 0
  2. r^2 = 0
  3. exp (-14 a0 r) = 0

Passo 4

Vamos resolver cada equação separadamente:
  1. Primeiro Termo:
    6 - 12 a0 r = 0
    Resolvendo para r:
    12 a0 r = 6 r = 6 times 2 a0 r = 12 a0
  2. Segundo Termo:
    r^2 = 0 r = 0
  3. Terceiro Termo:
    A função exponencial nunca é zero para valores finitos de r. Portanto, exp (-14 a0 r) neq 0 para todo r.

Passo 5

Agora, analisando os resultados:
  • r = 0: Apesar de a equação r^2 = 0 parecer dar um nó, na verdade, em r = 0, o comportamento físico da função de onda não indica um nó real. Isso porque a função de onda radial para orbitais com l > 0 tende a zero em r = 0 devido ao fator r^l, mas isso não é considerado um nó radial genuíno.
  • r = 12 a0: Este é o único valor de r onde a função de onda radial se anula de verdade, indicando um nó radial.

Resposta

O valor de r correspondente ao nó radial é r = 12,a0.

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