Questão 1 (2,5 pontos)
Observa-se que um pulso requer 0,1 s para se propagar de um a outro extremo fixos de uma longa corda. A onda é produzida porque a corda passa por uma polia que suspende um objeto cuja massa é 100 vezes maior que a massa da corda. (a) Determine o comprimento da corda. (b) Quais são a frequência fundamental e as frequências dos harmônicos dos modos de vibração da corda?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar:
Enunciado Resumido:
Temos uma corda fixa em dois extremos e um objeto passando por uma polia que faz com que uma onda percorra a corda em 0,1 segundos. A massa do objeto é 100 vezes a massa da corda. Precisamos:
a) Determinar o comprimento da corda.
b) Encontrar a frequência fundamental e as frequências dos harmônicos dos modos de vibração da corda.
Matéria Envolvida: Ondas mecânicas em cordas, velocidade da onda, frequência fundamental e harmônicos.
O que vamos precisar: Fórmulas de velocidade de ondas em cordas, relações entre tensão, densidade linear e velocidade, e fórmulas para frequências fundamentais e harmônicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a onda se propaga na corda. A velocidade da onda ( v = raizTmu ) em uma corda é dada por:
onde:
  • é a tensão na corda,
  • é a densidade linear da corda (massa por unidade de comprimento).

Passo 3

Agora, vamos determinar a tensão ( T = (100m) cdot g ) na corda. A tensão é causada pelo objeto suspenso, cuja massa é 100 vezes a massa da corda. Se considerarmos como a massa da corda, a massa do objeto é . A tensão então é:
onde é a aceleração da gravidade (~9,8 m/s²).

Passo 4

A densidade linear ( mu = mL ) da corda é a massa por unidade de comprimento:
onde é o comprimento da corda.

Passo 5

Substituindo v = raiz100m cdot gmL = raiz100gL = 10raizgL e na fórmula da velocidade da onda:

Passo 6

Sabemos que o pulso demora 0,1 segundos para percorrer todo o comprimento da corda. A relação entre velocidade, tempo e comprimento é:
v = Lt
Substituindo 10raizgL = L0,1 :

Passo 7

Resolvendo para 10raizgL = 10L Rightarrow raizgL = L :
gL = L^2 Rightarrow L^2 - gL = 0 Rightarrow L(L - g) = 0
Elevando ambos os lados ao quadrado:
L = g approx 9,8 metros
Como não pode ser zero:

Passo 8

Agora que temos o comprimento da corda ( v = 10raiz9,8 times 9,8 = 10 times 9,8 = 98 m/s m), vamos encontrar a velocidade da onda:

Passo 9

A frequência fundamental ( f1 = v2L ) de uma corda fixa em ambos os extremos é dada por:
f1 = 982 times 9,8 = 9819,6 = 5 Hz
Substituindo os valores:

Passo 10

As frequências dos harmônicos ( fn = n cdot f1 onde n = 1, 2, 3, dots ) são múltiplos inteiros da frequência fundamental:
Portanto:
  • Hz
  • Hz
  • Hz
  • E assim por diante.

Resposta

a) O comprimento da corda é aproximadamente 9,8 metros.
b) A frequência fundamental é 5 Hz e as frequências dos harmônicos são múltiplos inteiros de 5 Hz, ou seja, 10 Hz, 15 Hz, 20 Hz, etc.

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