Questão 1 (2,5 pontos)
Observa-se que um pulso requer 0,1 s para se propagar de um a outro extremo fixos de uma longa corda. A onda é produzida porque a corda passa por uma polia que suspende um objeto cuja massa é 100 vezes maior que a massa da corda. (a) Determine o comprimento da corda. (b) Quais são a frequência fundamental e as frequências dos harmônicos dos modos de vibração da corda?
Observa-se que um pulso requer 0,1 s para se propagar de um a outro extremo fixos de uma longa corda. A onda é produzida porque a corda passa por uma polia que suspende um objeto cuja massa é 100 vezes maior que a massa da corda. (a) Determine o comprimento da corda. (b) Quais são a frequência fundamental e as frequências dos harmônicos dos modos de vibração da corda?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar:
Enunciado Resumido:
Temos uma corda fixa em dois extremos e um objeto passando por uma polia que faz com que uma onda percorra a corda em 0,1 segundos. A massa do objeto é 100 vezes a massa da corda. Precisamos:
Temos uma corda fixa em dois extremos e um objeto passando por uma polia que faz com que uma onda percorra a corda em 0,1 segundos. A massa do objeto é 100 vezes a massa da corda. Precisamos:
a) Determinar o comprimento da corda.
b) Encontrar a frequência fundamental e as frequências dos harmônicos dos modos de vibração da corda.
b) Encontrar a frequência fundamental e as frequências dos harmônicos dos modos de vibração da corda.
Matéria Envolvida: Ondas mecânicas em cordas, velocidade da onda, frequência fundamental e harmônicos.
O que vamos precisar: Fórmulas de velocidade de ondas em cordas, relações entre tensão, densidade linear e velocidade, e fórmulas para frequências fundamentais e harmônicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a onda se propaga na corda. A velocidade da onda (
) em uma corda é dada por:
onde:
-
é a tensão na corda, -
é a densidade linear da corda (massa por unidade de comprimento).
Passo 3
Agora, vamos determinar a tensão (
) na corda. A tensão é causada pelo objeto suspenso, cuja massa é 100 vezes a massa da corda. Se considerarmos
como a massa da corda, a massa do objeto é
. A tensão então é:
onde
é a aceleração da gravidade (~9,8 m/s²).
Passo 4
A densidade linear (
) da corda é a massa por unidade de comprimento:
onde
é o comprimento da corda.
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula da velocidade da onda:
Passo 6
Sabemos que o pulso demora 0,1 segundos para percorrer todo o comprimento da corda. A relação entre velocidade, tempo e comprimento é:
Substituindo
:
Passo 7
Resolvendo para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Como
não pode ser zero:
Passo 8
Agora que temos o comprimento da corda (
m), vamos encontrar a velocidade da onda:
Passo 9
A frequência fundamental (
) de uma corda fixa em ambos os extremos é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 10
As frequências dos harmônicos (
) são múltiplos inteiros da frequência fundamental:
Portanto:
-
Hz -
Hz -
Hz - E assim por diante.
Resposta
a) O comprimento da corda é aproximadamente 9,8 metros.
b) A frequência fundamental é 5 Hz e as frequências dos harmônicos são múltiplos inteiros de 5 Hz, ou seja, 10 Hz, 15 Hz, 20 Hz, etc.
b) A frequência fundamental é 5 Hz e as frequências dos harmônicos são múltiplos inteiros de 5 Hz, ou seja, 10 Hz, 15 Hz, 20 Hz, etc.