( ) A função real
definida por
é decrescente para
pertencentes ao intervalo
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício diz que a função real
é definida por
e afirma que ela é decrescente para
pertencente ao intervalo
. O conteúdo envolvido aqui é o estudo das funções trigonométricas, especificamente a função cosseno, e suas propriedades de aumento e diminuição em determinados intervalos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada da função e interpretar seu sinal no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Essa é uma função trigonométrica comum, e sabemos que ela oscila entre -1 e 1 à medida que
varia. Mas o que significa dizer que a função é decrescente em um intervalo?
Passo 3
Uma função é decrescente em um intervalo se, conforme
aumenta,
diminui. Para verificar se
é decrescente em
, vamos olhar para a derivada dessa função.
Passo 4
A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação a
. Se a derivada é negativa em um intervalo, isso indica que a função está diminuindo nesse intervalo.
Passo 5
Vamos calcular a derivada de
:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos analisar o sinal de
no intervalo
. Sabemos que no intervalo
, o seno de
é positivo, ou seja,
.
Passo 7
Se
, então
. Portanto,
para todo
em
.
Passo 8
Como a derivada
é negativa em todo o intervalo
, isso confirma que a função
está realmente decrescente nesse intervalo.
Resposta
A função
é decrescente para
pertencentes ao intervalo
.
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Calcule o valor de
Agora, com base nos gráficos obtidos nos itens anteriores, esboce o gráfico da função real
, dada por
Existe o
? Justifique sua resposta.