( ) A função real definida por é decrescente para pertencentes ao intervalo .

Passo 1

Vamos lá! O exercício diz que a função real é definida por e afirma que ela é decrescente para pertencente ao intervalo . O conteúdo envolvido aqui é o estudo das funções trigonométricas, especificamente a função cosseno, e suas propriedades de aumento e diminuição em determinados intervalos. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada da função e interpretar seu sinal no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Essa é uma função trigonométrica comum, e sabemos que ela oscila entre -1 e 1 à medida que varia. Mas o que significa dizer que a função é decrescente em um intervalo?

Passo 3

Uma função é decrescente em um intervalo se, conforme aumenta, diminui. Para verificar se é decrescente em , vamos olhar para a derivada dessa função.

Passo 4

A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação a . Se a derivada é negativa em um intervalo, isso indica que a função está diminuindo nesse intervalo.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de :
Então, .

Passo 6

Agora, vamos analisar o sinal de no intervalo . Sabemos que no intervalo , o seno de é positivo, ou seja, .

Passo 7

Se , então . Portanto, para todo em .

Passo 8

Como a derivada é negativa em todo o intervalo , isso confirma que a função está realmente decrescente nesse intervalo.

Resposta

A função é decrescente para pertencentes ao intervalo .

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Agora, com base nos gráficos obtidos nos itens anteriores, esboce o gráfico da função real , dada por
Existe o ? Justifique sua resposta.