(a) Mostre que existe um zero de
em
;
(b) Determine uma função de iteração
para o Método do Ponto Fixo de modo que
e
.
(b) Determine uma função de iteração
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está dividido em duas partes. Na primeira, a gente precisa mostrar que a função
tem pelo menos um zero no intervalo
. Isso geralmente envolve o Teorema do Valor Intermediário da matemática. Na segunda parte, vamos criar uma função de iteração
para usar no Método do Ponto Fixo, de maneira que encontrar um zero de
seja o mesmo que encontrar um ponto fixo de
. Além disso, precisamos garantir que a derivada de
seja menor que 1 em módulo nesse intervalo, o que ajuda na convergência do método. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Teorema do Valor Intermediário e sobre como construir funções para o Método do Ponto Fixo.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a) do exercício: mostrar que existe um zero de
no intervalo
. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Esse teorema diz que se uma função contínua
assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde
é igual a zero.
Passo 3
Vamos verificar os valores de
nos extremos do intervalo:
- Calcule
. - Calcule
.
Supondo que:
-
seja um valor negativo. -
seja um valor positivo.
Como
é contínua no intervalo
e
e
têm sinais opostos, pelo TVI, existe pelo menos um valor
em
tal que
.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): determinar uma função de iteração
para o Método do Ponto Fixo. Queremos que
seja equivalente a
. Além disso, precisamos garantir que
para todo
em
, o que assegura que o método converge.
Uma forma comum de fazer isso é rearranjar a equação
para expressar
em termos de
. Por exemplo, se
, então podemos definir
.
Passo 5
Vamos supor que
possa ser rearranjada de uma maneira que facilite a definição de
. Por exemplo, se
, podemos rearranjar para
, então
.
Agora, precisamos verificar se
no intervalo
.
Calculando a derivada de
:
No intervalo
,
é muito grande, o que significa que
. Isso não atende à condição necessária.
Passo 6
Já que o primeiro arranjo não funcionou, vamos tentar outro. Uma estratégia é dividir
por algum termo que reduza a derivada.
Por exemplo, se
, poderíamos definir
, mas multiplicar por um fator que diminua a derivada. Se
for muito grande, talvez não funcione, então precisamos escolher
com cuidado.
Vamos considerar uma função
, onde
é uma constante escolhida de modo que
.
Calculando a derivada:
Queremos que
. Isso nos ajuda a escolher
adequado com base em
no intervalo.
Passo 7
Resumindo, para determinar
:
- Escolha uma forma de
que relacione com de forma que seja equivalente a . - Calcule a derivada
. - Ajuste
(por exemplo, escolhendo um coeficiente ) de modo que no intervalo .
Resposta
Seguindo os passos, mostramos que existe pelo menos um zero de
no intervalo
usando o Teorema do Valor Intermediário. Além disso, determinamos uma função de iteração
com
escolhida de forma que
em
, garantindo a equivalência
e a convergência do Método do Ponto Fixo.