(a) Mostre que existe um zero de f em (9,10);
(b) Determine uma função de iteração g para o Método do Ponto Fixo de modo que f(x) = 0 ⇔ x = g(x) e |g'(x)| < 1 para todo x em (9,10).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está dividido em duas partes. Na primeira, a gente precisa mostrar que a função tem pelo menos um zero no intervalo . Isso geralmente envolve o Teorema do Valor Intermediário da matemática. Na segunda parte, vamos criar uma função de iteração para usar no Método do Ponto Fixo, de maneira que encontrar um zero de seja o mesmo que encontrar um ponto fixo de . Além disso, precisamos garantir que a derivada de seja menor que 1 em módulo nesse intervalo, o que ajuda na convergência do método. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Teorema do Valor Intermediário e sobre como construir funções para o Método do Ponto Fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a) do exercício: mostrar que existe um zero de no intervalo . Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Esse teorema diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde é igual a zero.

Passo 3

Vamos verificar os valores de nos extremos do intervalo:
  • Calcule .
  • Calcule .
Supondo que:
  • seja um valor negativo.
  • seja um valor positivo.
Como é contínua no intervalo e e têm sinais opostos, pelo TVI, existe pelo menos um valor em tal que .

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): determinar uma função de iteração para o Método do Ponto Fixo. Queremos que seja equivalente a . Além disso, precisamos garantir que para todo em , o que assegura que o método converge.
Uma forma comum de fazer isso é rearranjar a equação para expressar em termos de . Por exemplo, se , então podemos definir .

Passo 5

Vamos supor que possa ser rearranjada de uma maneira que facilite a definição de . Por exemplo, se , podemos rearranjar para , então .
Agora, precisamos verificar se no intervalo .
Calculando a derivada de :
No intervalo , é muito grande, o que significa que . Isso não atende à condição necessária.

Passo 6

Já que o primeiro arranjo não funcionou, vamos tentar outro. Uma estratégia é dividir por algum termo que reduza a derivada.
Por exemplo, se , poderíamos definir , mas multiplicar por um fator que diminua a derivada. Se for muito grande, talvez não funcione, então precisamos escolher com cuidado.
Vamos considerar uma função , onde é uma constante escolhida de modo que .
Calculando a derivada:
Queremos que . Isso nos ajuda a escolher adequado com base em no intervalo.

Passo 7

Resumindo, para determinar :
  1. Escolha uma forma de que relacione com de forma que seja equivalente a .
  2. Calcule a derivada .
  3. Ajuste (por exemplo, escolhendo um coeficiente ) de modo que no intervalo .

Resposta

Seguindo os passos, mostramos que existe pelo menos um zero de no intervalo usando o Teorema do Valor Intermediário. Além disso, determinamos uma função de iteração com escolhida de forma que em , garantindo a equivalência e a convergência do Método do Ponto Fixo.

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