(2,0) A função T: R^2 R^4 definida por T(x, y)=(x^2-y, y-x, 0,0) é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função definida por . A pergunta é para saber se essa função é uma transformação linear. Para resolver isso, precisamos lembrar o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Ou seja, uma transformação linear preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a adição. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2)^2 - (y1 + y2), (y1 + y2) - (x1 + x2), 0, 0) e T(u) + T(v) = (x1^2 - y1, y1 - x1, 0, 0) + (x2^2 - y2, y2 - x2, 0, 0) = (x1^2 + x2^2 - y1 - y2, y1 + y2 - x1 - x2, 0, 0) .
Calculando (x1 + x2)^2 - (y1 + y2) neq x1^2 + x2^2 - y1 - y2 :
Agora, calculando :
Comparando as duas expressões, vemos que:
A menos que , o que não é garantido para todos os .

Passo 4

Como a primeira propriedade da linearidade já não é satisfeita, não precisamos verificar a segunda propriedade. Isso nos mostra que a função não é uma transformação linear.

Resposta

A função não é uma transformação linear.

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