Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformação linear! A questão nos apresenta a transformação linear definida por . O que queremos saber é se essa transformação é injetora. Para isso, vamos lembrar que uma transformação linear é injetora se o único vetor que mapeia para o vetor zero é o vetor zero mesmo. Ou seja, precisamos verificar se a única solução para é .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação . Isso significa que:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema passo a passo. Da primeira equação, podemos isolar x = -z :
y = -z
Da segunda equação, isolamos (-z) + (-z) = 0 -2z = 0 z = 0 :
Agora, substituímos e na terceira equação:
Passo 4
Com x = -0 = 0 y = -0 = 0 , substituímos de volta para encontrar e :
Então, a única solução é .
Resposta
Como a única solução para é , a transformação linear é injetora.