(2,0) A transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z)=(x+z, y+z, x+y) é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformação linear! A questão nos apresenta a transformação linear definida por . O que queremos saber é se essa transformação é injetora. Para isso, vamos lembrar que uma transformação linear é injetora se o único vetor que mapeia para o vetor zero é o vetor zero mesmo. Ou seja, precisamos verificar se a única solução para é .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação T(x, y, z) = (x + z, y + z, x + y) = (0, 0, 0) . Isso significa que:
x + z = 0 y + z = 0 x + y = 0
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema passo a passo. Da primeira equação, podemos isolar x = -z :
y = -z
Da segunda equação, isolamos (-z) + (-z) = 0 -2z = 0 z = 0 :
Agora, substituímos e na terceira equação:

Passo 4

Com x = -0 = 0 y = -0 = 0 , substituímos de volta para encontrar e :
Então, a única solução é .

Resposta

Como a única solução para é , a transformação linear é injetora.

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