A função x=(6,0 m) cos [(3 pi rad / s) t+pi / 3 rad] descreve o movimento harmônico simples de um corpo. No instante t=2,0 s, determine o deslocamento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve o movimento harmônico simples (MHS) de um corpo. O enunciado é:
x = (6,0 m) cos [(3 pi rad/s) t + pi3 rad]
Nosso objetivo é encontrar o deslocamento no instante segundos. Para isso, vamos precisar saber como funciona a equação do MHS e como substituir os valores dados na fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula do MHS:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • é a amplitude do movimento (a máxima deslocação).
  • é a frequência angular.
  • é a fase inicial.
  • é o tempo.
No nosso caso:

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores na equação:
x(2,0) = 6,0 , m cdot cos[(3 pi) cdot 2,0 + pi3]

Passo 4

Vamos calcular o argumento do cosseno:
(3 pi) cdot 2,0 = 6 pi
Então:
6 pi + pi3 = 18 pi3 + pi3 = 19 pi3

Passo 5

Agora, precisamos calcular o cosseno de 19 pi3 = 6 pi + pi3 . Lembrando que o cosseno tem período cos(6 pi + pi3) = cos(pi3) , então podemos simplificar o ângulo:
Como o cosseno é uma função periódica com período :

Passo 6

Sabemos que:
cos(pi3) = 12

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação do deslocamento:
x(2,0) = 6,0 , m cdot 12 = 3,0 , m

Resposta

No instante segundos, o deslocamento é de 3,0 metros.

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