A função y = C1 e^x + C2 x e^x + x^2 e^x é solução de uma equação diferencial. Determine os valores das constantes C1 e C2 de modo que y(1)=1 e y'(1) = -1.

Passo 1

Beleza! A gente tem uma função que é solução de uma equação diferencial. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores das constantes e de modo que e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Substituindo na função, temos:
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função para encontrar . Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Calculando cada termo:
Então, somando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Substituindo :
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos simplificar dividindo ambas as equações por :
Agora, subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar :
Simplificando:
Então:

Passo 6

Com o valor de encontrado, vamos substituir na primeira equação para encontrar :
Simplificando:

Resposta

As constantes que satisfazem as condições dadas são:

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