A função
é solução de uma equação diferencial. Determine os valores das constantes
e
de modo que
e
.
Passo 1
Beleza! A gente tem uma função
que é solução de uma equação diferencial. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores das constantes
e
de modo que
e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Substituindo
na função, temos:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função
para encontrar
. Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Calculando cada termo:
Então, somando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Substituindo
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos simplificar dividindo ambas as equações por
:
Agora, subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar
:
Simplificando:
Então:
Passo 6
Com o valor de
encontrado, vamos substituir na primeira equação para encontrar
:
Simplificando:
Resposta
As constantes que satisfazem as condições dadas são:
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