Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a série e precisamos descobrir se ela converge ou diverge usando o Teste de D’Alembert, que é um método que compara os termos consecutivos da série. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse teste e calcular alguns limites.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que o Teste de D’Alembert, ou Teste da Razão, nos ajuda a determinar a convergência de uma série calculando o limite da razão entre termos consecutivos. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui nada.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste de D’Alembert na nossa série. Seja . Precisamos calcular o limite:
Passo 4
Substituindo L = limn to infty | 3^n+1(n+1)^2+23^nn^2+2 | = limn to infty | 3^n+1 cdot (n^2+2)3^n cdot ((n+1)^2+2) | na expressão, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão, cancelamos L = limn to infty | 3 cdot (n^2+2)(n+1)^2+2 | :
Passo 6
Agora, vamos expandir o denominador:
(n+1)^2 + 2 = n^2 + 2n + 1 + 2 = n^2 + 2n + 3
Então, a expressão fica:
L = limn to infty 3(n^2+2)n^2+2n+3
Passo 7
Para calcular o limite, observamos os termos de maior grau no numerador e denominador. Tanto o numerador quanto o denominador têm L = limn to infty 3(1 + 2n^2)1 + 2n + 3n^2 = 3(1 + 0)1 + 0 + 0 = 3 como o termo de maior grau. Então, podemos dividir todos os termos por :
Passo 8
O limite é igual a 3, que é maior que 1. De acordo com o Teste de D’Alembert, se , a série diverge.
Resposta
A série diverge pelo Teste de D’Alembert, já que o limite da razão entre termos consecutivos é maior que 1.