Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é verificar se essa série converge (ou seja, se ela soma a um valor finito) ou diverge (não soma a um valor finito). Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de séries usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste diz o seguinte:
Seja
uma função contínua, positiva e decrescente para
(onde
é um número natural). Se a integral imprópria
converge, então a série
também converge. Se a integral diverge, então a série também diverge.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série:
Aqui,
. Precisamos verificar se podemos aplicar o Teste da Integral.
Primeiro, observamos que
é positiva para todo
. Além disso, como
aumenta conforme
aumenta,
é decrescente. Então, podemos usar o teste.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral correspondente:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, avaliamos a integral definida de 1 até infinito:
À medida que
tende ao infinito,
também tende ao infinito. Portanto, a expressão completa tende ao infinito:
Passo 6
Como a integral diverge (vai para infinito), pelo Teste da Integral, a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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A função
é solução de uma equação diferencial. Determine os valores das constantes
e
de modo que
e
.
Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(d)
(d)
Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(o)
(o)
Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO