Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(i) sumn=1^infty 14 n+7

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty 14n + 7
O objetivo é verificar se essa série converge (ou seja, se ela soma a um valor finito) ou diverge (não soma a um valor finito). Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de séries usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste diz o seguinte:
Seja integralN^infty f(x) , dx uma função contínua, positiva e decrescente para sumn=N^infty f(n) (onde é um número natural). Se a integral imprópria
converge, então a série
também converge. Se a integral diverge, então a série também diverge.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série:
sumn=1^infty 14n + 7
Aqui, . Precisamos verificar se podemos aplicar o Teste da Integral.
Primeiro, observamos que é positiva para todo . Além disso, como aumenta conforme aumenta, é decrescente. Então, podemos usar o teste.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral correspondente:
integral1^infty 14x + 7 , dx
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar integral 1u cdot du4 = 14 integral 1u , du = 14 ln|u| + C = 14 ln|4x + 7| + C , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, avaliamos a integral definida de 1 até infinito:
limb to infty [ 14 ln(4b + 7) - 14 ln(11) ]
À medida que limb to infty 14 ln(4b + 7) = infty tende ao infinito, também tende ao infinito. Portanto, a expressão completa tende ao infinito:

Passo 6

Como a integral diverge (vai para infinito), pelo Teste da Integral, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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