Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série
converge ou diverge usando o teste da integral. Esse teste faz parte do estudo de séries numéricas, onde a gente compara uma série com uma integral para ver seu comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a série um pouquinho. Notamos que
é apenas um deslocamento, então podemos reescrever a série começando de
:
Isso facilita nossa análise sem alterar a convergência da série.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teste da integral. Para isso, consideramos a função contínua, positiva e decrescente
para
. Precisamos calcular a integral imprópria:
Passo 4
Para resolver essa integral, faremos uma substituição. Vamos deixar
, então
. A integral fica:
Isso simplifica bastante!
Passo 5
Agora, calculamos a integral:
Quando avaliamos isso, vemos que quando
vai para infinito,
também vai para infinito.
Passo 6
Como a integral
diverge (vai para infinito), pelo teste da integral, a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Usando o teste de D (k)
Resoloa o PVI:
A função
é solução de uma equação diferencial. Determine os valores das constantes
e
de modo que
e
.
Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(i)
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