Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(o)
(o)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o teste de comparação para ver se a série
converge ou diverge. Então, vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já conhece para saber o comportamento dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste de comparação. Esse teste serve para comparar os termos de uma série com os de outra série que já sabemos se converge ou diverge. Se os termos da nossa série forem menores ou iguais aos da série comparadora que converge, então a nossa série também converge. E vice-versa, se os termos forem maiores e a série comparadora diverge, a nossa também diverge.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a nossa série:
. Sabemos que o cosseno de
,
, sempre está entre -1 e 1, ou seja,
. Então, o numerador
vai ficar entre
e
. Portanto:
Passo 4
Dividindo tudo por
, que é positivo para todo
, temos:
Isso quer dizer que os termos da nossa série estão entre
e
.
Passo 5
Agora, a gente sabe que a série
é uma série p com
, que é maior que 1, então essa série converge. Como os termos da nossa série
são menores ou iguais a
, e
também é uma série p com
que converge (é só uma constante multiplicando uma série que converge), podemos concluir pela comparação que a nossa série também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste de comparação.
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(i)
(i)
A função
é solução de uma equação diferencial. Determine os valores das constantes
e
de modo que
e
.
Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO
Usando o teste de D ©