Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(o) sumn=1^infty 2+cos nn^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o teste de comparação para ver se a série converge ou diverge. Então, vamos precisar entender como comparar essa série com outra que a gente já conhece para saber o comportamento dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste de comparação. Esse teste serve para comparar os termos de uma série com os de outra série que já sabemos se converge ou diverge. Se os termos da nossa série forem menores ou iguais aos da série comparadora que converge, então a nossa série também converge. E vice-versa, se os termos forem maiores e a série comparadora diverge, a nossa também diverge.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a nossa série: 1 <= 2 + cos n <= 3 . Sabemos que o cosseno de , , sempre está entre -1 e 1, ou seja, . Então, o numerador vai ficar entre e . Portanto:

Passo 4

Dividindo tudo por 1n^2 <= 2 + cos nn^2 <= 3n^2 , que é positivo para todo , temos:
Isso quer dizer que os termos da nossa série estão entre e .

Passo 5

Agora, a gente sabe que a série é uma série p com , que é maior que 1, então essa série converge. Como os termos da nossa série são menores ou iguais a , e também é uma série p com que converge (é só uma constante multiplicando uma série que converge), podemos concluir pela comparação que a nossa série também converge.

Resposta

A série converge pelo teste de comparação.

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Usando o teste da integral verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(i) sumn=1^infty 14 n+7
A função y = C1 e^x + C2 x e^x + x^2 e^x é solução de uma equação diferencial. Determine os valores das constantes C1 e C2 de modo que y(1)=1 e y'(1) = -1.
Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO d y/d x = x^2/y
Usando o teste de D © sumn=1^infty 1(n+1) 2^n+1