Resolva as equações diferenciais pelo Método da Variação dos Parâmetros
(d) y'' + 4y' + 4y = e^(-2x) ln(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o Método da Variação dos Parâmetros. Esse método é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para isso, vamos precisar primeiro resolver a equação homogênea associada e depois aplicar a variação dos parâmetros para achar a solução específica para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, escrevemos a equação característica que é .
Resolvendo a equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o Método da Variação dos Parâmetros. Primeiro, identificamos duas soluções lineares independentes da equação homogênea:
O próximo passo é calcular o Wronskiano dessas soluções:

[
W =


= e^{-4x} (1)
= e^{-4x}
]

Passo 4

Com o Wronskiano calculado, aplicamos as fórmulas da Variação dos Parâmetros para encontrar e :
Agora, integramos para encontrar e :
Essas integrais podem ser resolvidas por partes. Após resolver as integrais, obtemos e , e então:

Passo 5

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a solução particular encontrada pelo Método da Variação dos Parâmetros, e , são constantes arbitrárias.

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