Para as funções abaixo, calcule e e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
(b)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . O objetivo é calcular as derivadas parciais de segunda ordem: , , e . Além disso, precisamos verificar se o Teorema de Schwarz é válido para essa função, ou seja, se . Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação de funções de múltiplas variáveis.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial em relação a , que é . Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar :

Passo 3

Simplificamos :

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada parcial em relação a , que é . Derivamos em relação a :
Aplicando a derivada:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial mista . Começamos derivando em relação a :
Derivando termo a termo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, calculamos a derivada parcial em relação a , que é :

Passo 7

Em seguida, calculamos a segunda derivada parcial em relação a , que é . Derivamos em relação a :
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, calculamos a derivada parcial mista . Derivamos em relação a :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
Verificando o Teorema de Schwarz, observamos que é igual a , confirmando que o teorema é válido para esta função.

Exercícios relacionados

Para as funções abaixo, calcule e e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
(a)
Esboce o gráfico da função:
(h) Existe ?
Esboce o gráfico da função:
(k) é contínua em ?
Para as funções abaixo, calcule e e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
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