Para as funções abaixo, calcule e e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . O objetivo é calcular as derivadas parciais de segunda ordem: , , e . Além disso, precisamos verificar se o Teorema de Schwarz é válido para essa função, ou seja, se . Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação de funções de múltiplas variáveis.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial em relação a , que é . Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar :
Passo 3
Simplificamos :
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada parcial em relação a , que é . Derivamos em relação a :
Aplicando a derivada:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial mista . Começamos derivando em relação a :
Derivando termo a termo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, calculamos a derivada parcial em relação a , que é :
Passo 7
Em seguida, calculamos a segunda derivada parcial em relação a , que é . Derivamos em relação a :
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, calculamos a derivada parcial mista . Derivamos em relação a :
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
Verificando o Teorema de Schwarz, observamos que é igual a , confirmando que o teorema é válido para esta função.