Para as funções abaixo, calcule
e
e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
(b)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
. O objetivo é calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
,
,
e
. Além disso, precisamos verificar se o Teorema de Schwarz é válido para essa função, ou seja, se
. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação de funções de múltiplas variáveis.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial em relação a
, que é
. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar
:
Passo 3
Simplificamos
:
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada parcial em relação a
, que é
. Derivamos
em relação a
:
Aplicando a derivada:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial mista
. Começamos derivando
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, calculamos a derivada parcial em relação a
, que é
:
Passo 7
Em seguida, calculamos a segunda derivada parcial em relação a
, que é
. Derivamos
em relação a
:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, calculamos a derivada parcial mista
. Derivamos
em relação a
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
Verificando o Teorema de Schwarz, observamos que
é igual a
, confirmando que o teorema é válido para esta função.