Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a função é contínua em todos os pontos do plano . Aqui, estamos lidando com o tema de continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em e analisar a função dada passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” nesse ponto. Para funções de duas variáveis, isso significa que, ao nos aproximarmos de qualquer ponto no plano, o valor da função também se aproxima de um valor específico.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . Essa função é composta por duas partes principais:
  1. A parte dentro do logaritmo:
  2. A função logaritmo natural: , onde

Passo 4

Vamos analisar a primeira parte: .
  • Numerador: é um polinômio e, portanto, é contínuo para todo .
  • Denominador: também é um polinômio e é contínuo para todo .
Como o denominador nunca é zero (já que é sempre não negativo e somando 1 nunca dá zero), a fração está bem definida e é contínua em todo o plano .

Passo 5

Agora, vamos analisar a função logaritmo natural, . Essa função é contínua em todos os pontos onde .
No nosso caso, . Vimos que tanto o numerador quanto o denominador são sempre positivos ( e ), então:

Passo 6

Como a função dentro do logaritmo é sempre positiva e contínua em , e o logaritmo natural é contínuo para todo , a composição das duas funções também será contínua em todo o plano.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano .

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Verifique se as funções sequintes são contínuas.