Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a função
é contínua em todos os pontos do plano
. Aqui, estamos lidando com o tema de continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em
e analisar a função dada passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” nesse ponto. Para funções de duas variáveis, isso significa que, ao nos aproximarmos de qualquer ponto no plano, o valor da função também se aproxima de um valor específico.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. Essa função é composta por duas partes principais:
- A parte dentro do logaritmo:
- A função logaritmo natural:
, onde
Passo 4
Vamos analisar a primeira parte:
.
- Numerador:
é um polinômio e, portanto, é contínuo para todo . - Denominador:
também é um polinômio e é contínuo para todo .
Como o denominador
nunca é zero (já que
é sempre não negativo e somando 1 nunca dá zero), a fração
está bem definida e é contínua em todo o plano
.
Passo 5
Agora, vamos analisar a função logaritmo natural,
. Essa função é contínua em todos os pontos onde
.
No nosso caso,
. Vimos que tanto o numerador quanto o denominador são sempre positivos (
e
), então:
Passo 6
Como a função dentro do logaritmo
é sempre positiva e contínua em
, e o logaritmo natural
é contínuo para todo
, a composição das duas funções também será contínua em todo o plano.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano
.
Exercícios relacionados
Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
Verifique se as funções sequintes são contínuas.