Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que descobrir se a função é contínua em todos os pontos do plano . Vamos usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que é igual a porque a raiz quadrada do quadrado de uma função dá o valor absoluto dessa função. Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade dessa função. Para isso, vamos lembrar que:
  1. A função seno, , é contínua para todo .
  2. A função é um polinômio em e , e polinômios são contínuos em todas as variáveis.
  3. A função valor absoluto, , é contínua para todo .

Passo 4

Como a função é composta por funções contínuas (seno, polinômio e valor absoluto) e a composição de funções contínuas é contínua, concluímos que:
é contínua em todos os pontos do plano .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano .

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Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta.
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