Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A pergunta é sobre identificar se a função
é contínua em todos os pontos do plano
. Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma função ser contínua e como verificar a continuidade de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “interrupções” naquele ponto. No contexto de funções de duas variáveis, como a nossa
, a continuidade deve ser verificada para todos os pontos
no plano.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função passo a passo. A função dada é
. Isso significa que primeiro calculamos
, depois aplicamos o seno a esse resultado e, finalmente, elevamos o seno ao quadrado.
Passo 4
Vamos verificar a continuidade de cada parte da função:
- Subtração e Raiz Quadrada (
): A função é contínua para . A subtração de funções contínuas também é contínua, então é contínua onde . - Seno (
): A função seno é contínua para todos os números reais . - Quadrado (
): A função é contínua para todos os .
Passo 5
Com base nisso, a função composta
será contínua onde todas as partes são contínuas. Isso acontece quando
, porque
não está definida para
nos números reais.
Passo 6
Entretanto, a questão pede continuidade em todos os pontos do plano
. Para valores de
, a função
não está definida, o que significa que a função original não está definida nesses pontos e, portanto, não pode ser contínua em todo o plano.
Resposta
A função
não é contínua em todos os pontos do plano
, pois não está definida para valores de
.
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