Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A pergunta é sobre identificar se a função é contínua em todos os pontos do plano . Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma função ser contínua e como verificar a continuidade de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “interrupções” naquele ponto. No contexto de funções de duas variáveis, como a nossa , a continuidade deve ser verificada para todos os pontos no plano.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função passo a passo. A função dada é . Isso significa que primeiro calculamos , depois aplicamos o seno a esse resultado e, finalmente, elevamos o seno ao quadrado.

Passo 4

Vamos verificar a continuidade de cada parte da função:
  1. Subtração e Raiz Quadrada ( ): A função é contínua para . A subtração de funções contínuas também é contínua, então é contínua onde .
  2. Seno ( ): A função seno é contínua para todos os números reais .
  3. Quadrado ( ): A função é contínua para todos os .

Passo 5

Com base nisso, a função composta será contínua onde todas as partes são contínuas. Isso acontece quando , porque não está definida para nos números reais.

Passo 6

Entretanto, a questão pede continuidade em todos os pontos do plano . Para valores de , a função não está definida, o que significa que a função original não está definida nesses pontos e, portanto, não pode ser contínua em todo o plano.

Resposta

A função não é contínua em todos os pontos do plano , pois não está definida para valores de .

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