Verifique se as funções sequintes são contínuas.
Passo 1
Beleza, vamos analisar essa função para ver se ela é contínua. A função dada é:
Vamos trabalhar com o conceito de continuidade, que basicamente verifica se a função não tem “saltos” ou “interrupções”. Para isso, precisamos ver se o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, analisamos o limite da função quando
se aproxima de
. A expressão dentro do cosseno é
. Conforme
,
, então
.
Agora, pense na função cosseno:
oscila entre -1 e 1 para todo
. Se
tende ao infinito, o cosseno não se estabiliza em nenhum valor específico; ele continua oscilando sem parar. Isso significa que o limite de
quando
não existe, porque não se aproxima de um único número.
Passo 3
Como o limite da função quando
não existe, mas o valor da função em
é 1, podemos concluir que a função não é contínua nesse ponto. Para uma função ser contínua em um ponto, o limite deve existir e ser igual ao valor da função nesse ponto.
Resposta
A função
não é contínua em
, mas é contínua em todos os outros pontos do domínio.
Exercícios relacionados
Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
Encontre o conjunto onde a função
é contínua.