Verifique se as funções sequintes são contínuas.

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa função para ver se ela é contínua. A função dada é:
Vamos trabalhar com o conceito de continuidade, que basicamente verifica se a função não tem “saltos” ou “interrupções”. Para isso, precisamos ver se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, analisamos o limite da função quando se aproxima de . A expressão dentro do cosseno é . Conforme , , então .
Agora, pense na função cosseno: oscila entre -1 e 1 para todo . Se tende ao infinito, o cosseno não se estabiliza em nenhum valor específico; ele continua oscilando sem parar. Isso significa que o limite de quando não existe, porque não se aproxima de um único número.

Passo 3

Como o limite da função quando não existe, mas o valor da função em é 1, podemos concluir que a função não é contínua nesse ponto. Para uma função ser contínua em um ponto, o limite deve existir e ser igual ao valor da função nesse ponto.

Resposta

A função não é contínua em , mas é contínua em todos os outros pontos do domínio.

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Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta.
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Encontre o conjunto onde a função é contínua.