Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado da questão. Queremos saber se a função é contínua em todos os pontos do plano . Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de continuidade e domínio de funções, especialmente envolvendo logaritmos.

Passo 2

A continuidade de uma função em todos os pontos de seu domínio depende de dois fatores principais:
  1. A função deve estar definida em todos os pontos considerados.
  2. A função não deve apresentar quebras, saltos ou assíntotas dentro desse domínio.
Vamos analisar a função .

Passo 3

Primeiro, consideremos o argumento do logaritmo: . Para que o logaritmo natural esteja definido, é necessário que . Portanto, .

Passo 4

Além disso, o denominador não pode ser zero, pois a divisão por zero é indefinida. Então, , ou seja, .

Passo 5

Agora, analisamos as condições:
  1. para evitar a divisão por zero.
  2. para que o logaritmo esteja definido.
Essas condições definem o domínio da função onde ela está contínua. Fora desse domínio, a função não está definida, portanto, não é contínua.

Passo 6

Como a função não está definida para e apenas para valores de , ela não é contínua em todos os pontos do plano .

Resposta

A função não é contínua em todos os pontos do plano , pois não está definida quando e quando .

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Verifique se as funções sequintes são contínuas.