Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado da questão. Queremos saber se a função
é contínua em todos os pontos do plano
. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de continuidade e domínio de funções, especialmente envolvendo logaritmos.
Passo 2
A continuidade de uma função em todos os pontos de seu domínio depende de dois fatores principais:
- A função deve estar definida em todos os pontos considerados.
- A função não deve apresentar quebras, saltos ou assíntotas dentro desse domínio.
Vamos analisar a função
.
Passo 3
Primeiro, consideremos o argumento do logaritmo:
. Para que o logaritmo natural
esteja definido, é necessário que
. Portanto,
.
Passo 4
Além disso, o denominador
não pode ser zero, pois a divisão por zero é indefinida. Então,
, ou seja,
.
Passo 5
Agora, analisamos as condições:
-
para evitar a divisão por zero. -
para que o logaritmo esteja definido.
Essas condições definem o domínio da função onde ela está contínua. Fora desse domínio, a função não está definida, portanto, não é contínua.
Passo 6
Como a função não está definida para
e apenas para valores de
, ela não é contínua em todos os pontos do plano
.
Resposta
A função
não é contínua em todos os pontos do plano
, pois não está definida quando
e quando
.
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Verifique se as funções sequintes são contínuas.