Verifique se as funções sequintes são contínuas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de forma diferente dependendo dos valores de
e
. Precisamos verificar se essa função é contínua para todos os pontos
. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade em funções de duas variáveis e analisar cada caso da definição da função.
Passo 2
A função
está definida da seguinte maneira:
Vamos simplificar a expressão quando
. Observamos que
pode ser fatorado como
. Assim:
Então, a função simplificada fica:
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade em todos os pontos
.
-
Quando
:
A função é, que é uma função polinomial em duas variáveis. Polinômios são contínuos em todo o seu domínio, então é contínua nesses pontos. -
Quando
:
A função é definida como. Novamente, esta é uma função polinomial, que é contínua em todo o seu domínio.
Passo 4
O ponto crítico é onde a definição da função muda, isto é, quando
se aproxima de
. Precisamos verificar se a função é contínua nesse limite.
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de um ponto onde
. Usando a forma simplificada:
E, pela definição da função:
Como o limite coincide com o valor da função no ponto
, a função é contínua nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos
.