Verifique se as funções sequintes são contínuas. g(x, y) = { (x^2 - y^2) / (x - y) se x ≠ y; 2x se x = y }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente dependendo dos valores de e . Precisamos verificar se essa função é contínua para todos os pontos . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade em funções de duas variáveis e analisar cada caso da definição da função.

Passo 2

A função está definida da seguinte maneira:
Vamos simplificar a expressão quando . Observamos que pode ser fatorado como . Assim:
Então, a função simplificada fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade em todos os pontos .
  1. Quando :
    A função é , que é uma função polinomial em duas variáveis. Polinômios são contínuos em todo o seu domínio, então é contínua nesses pontos.
  2. Quando :
    A função é definida como . Novamente, esta é uma função polinomial, que é contínua em todo o seu domínio.

Passo 4

O ponto crítico é onde a definição da função muda, isto é, quando se aproxima de . Precisamos verificar se a função é contínua nesse limite.
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de um ponto onde . Usando a forma simplificada:
E, pela definição da função:
Como o limite coincide com o valor da função no ponto , a função é contínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos .

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