Mostre que o limite não existe, calculando o limite ao longo de qualquer lina ou qualquer parábola

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o limite da função quando o ponto se aproxima de . O objetivo é mostrar que esse limite não existe. Para isso, vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos: qualquer linha da forma e qualquer parábola da forma . Usaremos conceitos de cálculo de limites e análise de caminhos para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar calculando o limite ao longo de uma linha . Substituindo por na função, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão. Podemos fatorar no denominador:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0:
Então, ao longo de qualquer linha , o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite ao longo de uma parábola . Substituindo por na função, temos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão novamente, fatorando no denominador:

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:
Então, ao longo de qualquer parábola , o limite também é 0.

Passo 8

Até aqui, vimos que ao longo de linhas e parábolas diferentes, o limite da função é 0. Mas para mostrar que o limite geral não existe, precisamos encontrar pelo menos um caminho onde o limite seja diferente.
Vamos considerar o caminho . Substituindo na função:

Passo 9

Calculando o limite nesse caminho:

Passo 10

Agora, temos caminhos onde o limite é 0 (linhas e parábolas) e um caminho onde o limite é . Como os limites ao longo de diferentes caminhos não são iguais, podemos concluir que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois diferentes caminhos levam a limites distintos.

Exercícios relacionados

Mostre que o limite não existe.
Mostre que o limite não existe.
Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta.
Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta.