Mostre que o limite
não existe, calculando o limite ao longo de qualquer lina
ou qualquer parábola
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. O objetivo é mostrar que esse limite não existe. Para isso, vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos: qualquer linha da forma
e qualquer parábola da forma
. Usaremos conceitos de cálculo de limites e análise de caminhos para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar calculando o limite ao longo de uma linha
. Substituindo
por
na função, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão. Podemos fatorar
no denominador:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0:
Então, ao longo de qualquer linha
, o limite é 0.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite ao longo de uma parábola
. Substituindo
por
na função, temos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão novamente, fatorando
no denominador:
Passo 7
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Então, ao longo de qualquer parábola
, o limite também é 0.
Passo 8
Até aqui, vimos que ao longo de linhas e parábolas diferentes, o limite da função é 0. Mas para mostrar que o limite geral não existe, precisamos encontrar pelo menos um caminho onde o limite seja diferente.
Vamos considerar o caminho
. Substituindo na função:
Passo 9
Calculando o limite nesse caminho:
Passo 10
Agora, temos caminhos onde o limite é 0 (linhas e parábolas) e um caminho onde o limite é
. Como os limites ao longo de diferentes caminhos não são iguais, podemos concluir que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe, pois diferentes caminhos levam a limites distintos.
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Mostre que o limite não existe.
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Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.