Mostre que o limite lim (x, y) (0,0) x^3 yx^6+y^2 não existe, calculando o limite ao longo de qualquer lina y=k x ou qualquer parábola y=k x^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o limite da função quando o ponto se aproxima de . O objetivo é mostrar que esse limite não existe. Para isso, vamos calcular o limite ao longo de diferentes caminhos: qualquer linha da forma e qualquer parábola da forma . Usaremos conceitos de cálculo de limites e análise de caminhos para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar calculando o limite ao longo de uma linha f(x, kx) = x^3 (kx)x^6 + (kx)^2 = kx^4x^6 + k^2x^2 . Substituindo por na função, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão. Podemos fatorar kx^4x^2(x^4 + k^2) = kx^2x^4 + k^2 no denominador:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite quando limx to 0 kx^2x^4 + k^2 = 00 + k^2 = 0 se aproxima de 0:
Então, ao longo de qualquer linha , o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite ao longo de uma parábola f(x, kx^2) = x^3 (k x^2)x^6 + (k x^2)^2 = kx^5x^6 + k^2x^4 . Substituindo por na função, temos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão novamente, fatorando kx^5x^4(x^2 + k^2) = kxx^2 + k^2 no denominador:

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando limx to 0 kxx^2 + k^2 = 00 + k^2 = 0 se aproxima de 0:
Então, ao longo de qualquer parábola , o limite também é 0.

Passo 8

Até aqui, vimos que ao longo de linhas e parábolas diferentes, o limite da função é 0. Mas para mostrar que o limite geral não existe, precisamos encontrar pelo menos um caminho onde o limite seja diferente.
Vamos considerar o caminho f(x, x^3) = x^3 cdot x^3x^6 + x^6 = x^62x^6 = 12 . Substituindo na função:

Passo 9

Calculando o limite nesse caminho:
limx to 0 12 = 12

Passo 10

Agora, temos caminhos onde o limite é 0 (linhas e parábolas) e um caminho onde o limite é . Como os limites ao longo de diferentes caminhos não são iguais, podemos concluir que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois diferentes caminhos levam a limites distintos.

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