Mostre que o limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o limite da função quando se aproxima de . O conteúdo aqui é de limites em várias variáveis, e para resolver isso, vamos precisar investigar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, para mostrar que o limite não existe, precisamos encontrar pelo menos dois caminhos diferentes que, ao se aproximarem de , nos dão resultados distintos para o limite da função. Se conseguirmos isso, fica claro que não há um único valor para o limite quando nos aproximamos do ponto de diferentes maneiras.

Passo 3

Vamos escolher o primeiro caminho onde . Nesse caso, substituindo na função, temos:
Portanto, ao se aproximar de pelo caminho onde , o limite da função é 0.

Passo 4

Agora, vamos escolher um segundo caminho diferente, por exemplo, onde . Substituindo e por , a função fica:
Assim, ao se aproximar de pelo caminho onde , o limite da função é .

Passo 5

Observamos que ao escolher dois caminhos diferentes, obtivemos limites distintos: 0 e . Isso mostra que o limite da função não existe quando se aproxima de , já que não há um único valor que a função tende a ter nesse ponto independente do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe.

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Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta.