Mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o limite da função
quando
se aproxima de
. O conteúdo aqui é de limites em várias variáveis, e para resolver isso, vamos precisar investigar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, para mostrar que o limite não existe, precisamos encontrar pelo menos dois caminhos diferentes que, ao se aproximarem de
, nos dão resultados distintos para o limite da função. Se conseguirmos isso, fica claro que não há um único valor para o limite quando nos aproximamos do ponto de diferentes maneiras.
Passo 3
Vamos escolher o primeiro caminho onde
. Nesse caso, substituindo
na função, temos:
Portanto, ao se aproximar de
pelo caminho onde
, o limite da função é 0.
Passo 4
Agora, vamos escolher um segundo caminho diferente, por exemplo, onde
. Substituindo
e
por
, a função fica:
Assim, ao se aproximar de
pelo caminho onde
, o limite da função é
.
Passo 5
Observamos que ao escolher dois caminhos diferentes, obtivemos limites distintos: 0 e
. Isso mostra que o limite da função
não existe quando
se aproxima de
, já que não há um único valor que a função tende a ter nesse ponto independente do caminho escolhido.
Resposta
O limite não existe.
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Mostre que o limite não existe.
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Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.