Para as funções abaixo, determine quais admitem uma assíntota vertical. Inclua as equações e os gráficos das assíntotas, bem como um esboço dos gráficos dessas funções, indicando o(s) comportamento(s) assintóticos perto da(s) assíntotas.
6a)

Passo 1

Então, temos o exercício que pede para a gente analisar a função e descobrir se ela tem assíntotas verticais. Vamos usar conceitos de funções racionais e assíntotas para resolver isso. Precisamos encontrar onde a função pode “explodir” para mais ou menos infinito, o que geralmente acontece quando o denominador é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde o denominador da função se torna zero, porque nesses pontos a função não está definida e pode ter uma assíntota vertical. Então, resolvemos a equação do denominador igual a zero:

Passo 3

Resolvendo a equação , temos:
Portanto, os valores de que tornam o denominador zero são e .

Passo 4

Agora, vamos verificar se nesses pontos o numerador não é zero. Isso é importante porque, se tanto o numerador quanto o denominador forem zero, poderíamos ter uma assíntota oblíqua ou um ponto de descontinuidade removível, mas não uma assíntota vertical.
Substituindo e no numerador :
Para :
Para :
Portanto, o numerador não é zero nesses pontos, confirmando que temos assíntotas verticais.

Passo 5

Então, as assíntotas verticais da função são nas linhas onde e . Isso significa que, próximo a esses valores de , o valor de tende a mais ou menos infinito, fazendo a função “aproximar-se” dessas linhas sem nunca tocá-las.

Passo 6

Para esboçar o gráfico, desenhamos as assíntotas verticais como linhas pontilhadas nas posições e . Em seguida, analisamos o comportamento da função perto dessas assíntotas:
  • Conforme se aproxima de pela esquerda, tende a menos infinito.
  • Conforme se aproxima de pela direita, tende a mais infinito.
  • Similarmente, para , o comportamento se inverte.

Resposta

A função possui duas assíntotas verticais nas equações e . O gráfico da função apresenta essas linhas verticais como assíntotas, com a função se aproximando de e próximo a cada assíntota.

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