Para as funções abaixo, determine quais admitem uma assíntota vertical. Inclua as equações e os gráficos das assíntotas, bem como um esboço dos gráficos dessas funções, indicando o(s) comportamento(s) assintóticos perto da(s) assíntotas.
6a)
6a)
Passo 1
Então, temos o exercício que pede para a gente analisar a função
e descobrir se ela tem assíntotas verticais. Vamos usar conceitos de funções racionais e assíntotas para resolver isso. Precisamos encontrar onde a função pode “explodir” para mais ou menos infinito, o que geralmente acontece quando o denominador é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde o denominador da função se torna zero, porque nesses pontos a função não está definida e pode ter uma assíntota vertical. Então, resolvemos a equação do denominador igual a zero:
Passo 3
Resolvendo a equação
, temos:
Portanto, os valores de
que tornam o denominador zero são
e
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se nesses pontos o numerador não é zero. Isso é importante porque, se tanto o numerador quanto o denominador forem zero, poderíamos ter uma assíntota oblíqua ou um ponto de descontinuidade removível, mas não uma assíntota vertical.
Substituindo
e
no numerador
:
Para
:
Para
:
Portanto, o numerador não é zero nesses pontos, confirmando que temos assíntotas verticais.
Passo 5
Então, as assíntotas verticais da função são nas linhas onde
e
. Isso significa que, próximo a esses valores de
, o valor de
tende a mais ou menos infinito, fazendo a função “aproximar-se” dessas linhas sem nunca tocá-las.
Passo 6
Para esboçar o gráfico, desenhamos as assíntotas verticais como linhas pontilhadas nas posições
e
. Em seguida, analisamos o comportamento da função perto dessas assíntotas:
- Conforme
se aproxima de pela esquerda, tende a menos infinito. - Conforme
se aproxima de pela direita, tende a mais infinito. - Similarmente, para
, o comportamento se inverte.
Resposta
A função
possui duas assíntotas verticais nas equações
e
. O gráfico da função apresenta essas linhas verticais como assíntotas, com a função se aproximando de
e
próximo a cada assíntota.
Exercícios relacionados
Usando a noção de função inversa e a mudança de variável
mostre que a função
, inversa da função cosh é dada explicitamente por
Em seguida, faça o mesmo para a função
, cuja inversa é a função sec
.
Estude o Problema 3, apresentado na página 394 de
.
Se
as funções
são denominadas cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente. Demostre as seguintes identidades trigonométricas hiperbólicas:
em que tgh e cosh são, respectivamente, as funções tangente e cossecante hiperbólicas.
Utilizando uma tabela de valores, estime o valor de
.