Usando a noção de função inversa e a mudança de variável mostre que a função , inversa da função cosh é dada explicitamente por
Em seguida, faça o mesmo para a função , cuja inversa é a função sec .
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente encontrar as funções inversas de duas funções hiperbólicas: a função e a função . A matéria que vamos usar para resolver isso é sobre funções inversas e mudanças de variável. Vamos precisar lembrar como achar a função inversa de uma função qualquer e aplicar uma substituição para simplificar a equação.
Passo 2
Vamos começar com a função . Para achar a função inversa, ou seja, , a gente precisa resolver a equação para . A função é definida como:
Passo 3
Para simplificar a resolução, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos deixar . Com isso, . Substituindo na equação da :
Passo 4
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar o denominador:
Isso nos dá uma equação quadrática em termos de :
Passo 5
Vamos resolver essa equação quadrática para . Usando a fórmula de Bhaskara:
Como , a solução válida é:
Passo 6
Agora que temos , vamos resolver para tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Então, a função inversa de é:
Passo 7
Agora vamos fazer o mesmo para a função , que é a função inversa de . A função é definida como:
Passo 8
Para encontrar a inversa, vamos resolver para . Primeiro, reescrevemos a equação:
Isso implica que:
Passo 9
Agora, já sabemos que:
Simplificando:
Passo 10
Para simplificar ainda mais, vamos multiplicar numerador e denominador dentro do logaritmo por :