Usando a noção de função inversa e a mudança de variável u = e^y mostre que a função y = arccos(h(x)), inversa da função cosh é dada explicitamente por
arccosh(x) = ln(x + raiz(x^2 - 1)), x > 1
Em seguida, faça o mesmo para a função arcsec h(x), cuja inversa é a função sec h.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente encontrar as funções inversas de duas funções hiperbólicas: a função e a função . A matéria que vamos usar para resolver isso é sobre funções inversas e mudanças de variável. Vamos precisar lembrar como achar a função inversa de uma função qualquer e aplicar uma substituição para simplificar a equação.

Passo 2

Vamos começar com a função . Para achar a função inversa, ou seja, , a gente precisa resolver a equação para . A função y é definida como:

Passo 3

Para simplificar a resolução, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos deixar . Com isso, . Substituindo na equação da :

Passo 4

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar o denominador:
Isso nos dá uma equação quadrática em termos de u:

Passo 5

Vamos resolver essa equação quadrática para u. Usando a fórmula de Bhaskara:
Como , a solução válida é:

Passo 6

Agora que temos , vamos resolver para y tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Então, a função inversa de é:

Passo 7

Agora vamos fazer o mesmo para a função , que é a função inversa de . A função é definida como:

Passo 8

Para encontrar a inversa, vamos resolver para y. Primeiro, reescrevemos a equação:
Isso implica que:

Passo 9

Agora, já sabemos que:
Simplificando:

Passo 10

Para simplificar ainda mais, vamos multiplicar numerador e denominador dentro do logaritmo por x:
Portanto, a função inversa de é:

Resposta

A função inversa de é dada por
e a função inversa de é

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