Se as funções
são denominadas cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente. Demostre as seguintes identidades trigonométricas hiperbólicas:
em que tgh e cosh são, respectivamente, as funções tangente e cossecante hiperbólicas.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos as funções cosseno hiperbólico ( ) e seno hiperbólico ( ), definidas em termos de e . A tarefa é demonstrar duas identidades importantes dessas funções:
Para resolver isso, vamos precisar entender as definições das funções hiperbólicas e aplicar propriedades de exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as definições das funções hiperbólicas fornecidas:
Essas expressões nos mostram como e são construídas a partir de exponenciais.

Passo 3

Vamos começar demonstrando a primeira identidade:
Primeiro, elevamos e ao quadrado:

Passo 4

Agora, subtraímos de :
Subtraindo os numeradores:
Então, temos que:

Passo 5

Agora, vamos demonstrar a segunda identidade:
Primeiro, vamos lembrar das definições das funções envolvidas:

Passo 6

Vamos calcular :
E :

Passo 7

Agora, vamos montar a expressão da identidade:
Usando a primeira identidade que demonstramos, sabemos que:
Substituindo na expressão anterior:

Resposta

Assim, demonstramos que:

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Para as funções abaixo, determine quais admitem uma assíntota vertical. Inclua as equações e os gráficos das assíntotas, bem como um esboço dos gráficos dessas funções, indicando o(s) comportamento(s) assintóticos perto da(s) assíntotas.
6a)
Usando a noção de função inversa e a mudança de variável mostre que a função , inversa da função cosh é dada explicitamente por
Em seguida, faça o mesmo para a função , cuja inversa é a função sec .
Utilizando uma tabela de valores, estime o valor de .
Calcule: