Se f(x)=e^x as funções
cosh (x):=12[f(x)+f(-x)] e senh(x)=12[f(x)-f(-x)]
são denominadas cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente. Demostre as seguintes identidades trigonométricas hiperbólicas:
[cosh (x)]^2-[senh(x)]^2 & =1 1-[tgh(x)]^2 & =[sech(x)]^2
em que tgh e cosh são, respectivamente, as funções tangente e cossecante hiperbólicas.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos as funções cosseno hiperbólico ( cosh(x)) e seno hiperbólico ( senh(x)), definidas em termos de e^x e e^-x. A tarefa é demonstrar duas identidades importantes dessas funções:
  1. [cosh(x)]^2 - [senh(x)]^2 = 1
  2. 1 - [tgh(x)]^2 = [sech(x)]^2
Para resolver isso, vamos precisar entender as definições das funções hiperbólicas e aplicar propriedades de exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as definições das funções hiperbólicas fornecidas:
cosh(x) = 12[e^x + e^-x]
senh(x) = 12[e^x - e^-x]
Essas expressões nos mostram como cosh(x) e senh(x) são construídas a partir de exponenciais.

Passo 3

Vamos começar demonstrando a primeira identidade:
[cosh(x)]^2 - [senh(x)]^2 = 1
Primeiro, elevamos cosh(x) e senh(x) ao quadrado:
[cosh(x)]^2 = (e^x + e^-x2)^2 = e^2x + 2e^xe^-x + e^-2x4 = e^2x + 2 + e^-2x4
[senh(x)]^2 = (e^x - e^-x2)^2 = e^2x - 2e^xe^-x + e^-2x4 = e^2x - 2 + e^-2x4

Passo 4

Agora, subtraímos [senh(x)]^2 de [cosh(x)]^2:
[cosh(x)]^2 - [senh(x)]^2 = e^2x + 2 + e^-2x4 - e^2x - 2 + e^-2x4
Subtraindo os numeradores:
= (e^2x + 2 + e^-2x) - (e^2x - 2 + e^-2x)4 = 44 = 1
Então, temos que:
[cosh(x)]^2 - [senh(x)]^2 = 1

Passo 5

Agora, vamos demonstrar a segunda identidade:
1 - [tgh(x)]^2 = [sech(x)]^2
Primeiro, vamos lembrar das definições das funções envolvidas:
tgh(x) = senh(x)cosh(x)
sech(x) = 1cosh(x)

Passo 6

Vamos calcular [tgh(x)]^2:
[tgh(x)]^2 = (senh(x)cosh(x))^2 = [senh(x)]^2[cosh(x)]^2
E [sech(x)]^2:
[sech(x)]^2 = (1cosh(x))^2 = 1[cosh(x)]^2

Passo 7

Agora, vamos montar a expressão da identidade:
1 - [tgh(x)]^2 = 1 - [senh(x)]^2[cosh(x)]^2
Usando a primeira identidade que demonstramos, sabemos que:
[cosh(x)]^2 - [senh(x)]^2 = 1 Rightarrow [senh(x)]^2 = [cosh(x)]^2 - 1
Substituindo na expressão anterior:
1 - [cosh(x)]^2 - 1[cosh(x)]^2 = [cosh(x)]^2 - ([cosh(x)]^2 - 1)[cosh(x)]^2 = 1[cosh(x)]^2 = [sech(x)]^2

Resposta

Assim, demonstramos que:
1 - [tgh(x)]^2 = [sech(x)]^2

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