Se
as funções
são denominadas cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente. Demostre as seguintes identidades trigonométricas hiperbólicas:
em que tgh e cosh são, respectivamente, as funções tangente e cossecante hiperbólicas.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos as funções cosseno hiperbólico (
) e seno hiperbólico (
), definidas em termos de
e
. A tarefa é demonstrar duas identidades importantes dessas funções:
Para resolver isso, vamos precisar entender as definições das funções hiperbólicas e aplicar propriedades de exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as definições das funções hiperbólicas fornecidas:
Essas expressões nos mostram como
e
são construídas a partir de exponenciais.
Passo 3
Vamos começar demonstrando a primeira identidade:
Primeiro, elevamos
e
ao quadrado:
Passo 4
Agora, subtraímos
de
:
Subtraindo os numeradores:
Então, temos que:
Passo 5
Agora, vamos demonstrar a segunda identidade:
Primeiro, vamos lembrar das definições das funções envolvidas:
Passo 6
Vamos calcular
:
E
:
Passo 7
Agora, vamos montar a expressão da identidade:
Usando a primeira identidade que demonstramos, sabemos que:
Substituindo na expressão anterior:
Resposta
Assim, demonstramos que: