Resolva as integrais abaixo: integral0^pi / 4 sec (x) tan (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como integrar funções que são o produto de e .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que estamos integrando: . Sabia que a derivada de é exatamente ? Isso é uma propriedade importante das funções trigonométricas. Então, se sabemos que , isso significa que a antiderivada de é simplesmente .

Passo 3

Agora que sabemos que , onde é a constante de integração, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida de 0 a .

Passo 4

Vamos aplicar os limites de integração na antiderivada que encontramos:
integral0^pi / 4 sec(x) tan(x) , dx = [ sec(x) ]0^pi/4 = sec(pi4) - sec(0)

Passo 5

Agora, vamos calcular sec(pi4) = 1cos(pi4) = 1raiz22 = raiz2 e sec(0) = 1cos(0) = 11 = 1 :

Resposta

Portanto, a integral vale:
raiz2 - 1

Exercícios relacionados