Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y da região envolvida por y = raiz(x), x = 1 e x = 4 e o eixo x.
Faça uma figura.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: queremos encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por , pelas retas e , e pelo eixo , ao redor do eixo . Para isso, vamos utilizar o método das camadas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral para determinar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, entendemos a região que será rotacionada. A curva pode ser reescrita como . As retas verticais e limitam a região horizontalmente, e o eixo (que é ) limita a região na parte inferior.

Passo 3

No método das camadas cilíndricas, o volume é calculado integrando ao longo do eixo de rotação. Como estamos girando em torno do eixo , vamos integrar em relação a .
A fórmula para o volume usando camadas cilíndricas é:
onde é a altura da camada cilíndrica no ponto .

Passo 4

Identificamos os limites de integração: varia de 1 a 4.
A altura da camada é a distância da curva ao eixo , que é .

Passo 5

Substituindo na fórmula, temos:
Simplificando .

Passo 6

Calculamos a integral:

Passo 7

Vamos avaliar a integral nos limites de 1 a 4:
Sabendo que e .

Passo 8

Substituindo os valores:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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