Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo
da região envolvida por
e
e o eixo
.
Faça uma figura.
Faça uma figura.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: queremos encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por
, pelas retas
e
, e pelo eixo
, ao redor do eixo
. Para isso, vamos utilizar o método das camadas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral para determinar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, entendemos a região que será rotacionada. A curva
pode ser reescrita como
. As retas verticais
e
limitam a região horizontalmente, e o eixo
(que é
) limita a região na parte inferior.
Passo 3
No método das camadas cilíndricas, o volume é calculado integrando ao longo do eixo de rotação. Como estamos girando em torno do eixo
, vamos integrar em relação a
.
A fórmula para o volume usando camadas cilíndricas é:
onde
é a altura da camada cilíndrica no ponto
.
Passo 4
Identificamos os limites de integração:
varia de 1 a 4.
A altura
da camada é a distância da curva ao eixo
, que é
.
Passo 5
Substituindo na fórmula, temos:
Simplificando
.
Passo 6
Calculamos a integral:
Passo 7
Vamos avaliar a integral nos limites de 1 a 4:
Sabendo que
e
.
Passo 8
Substituindo os valores:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.