Seja f(x, y) = 6 x^5 y^3 - 4 x y^2 - 6 x y + 6 y + 9 - 2 x^2. Determine o valor de:
b) f_xyx(2,-1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar o valor de . Isso significa que vamos calcular a derivada parcial de em relação a , depois a , e novamente a , avaliando o resultado no ponto .

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando termo a termo em relação a :

  1. (Usamos a regra do poder: )

  2. (Aqui, tratamos como constante e aplicamos a regra do poder)

  3. (Derivada de é 1)

  4. (Constante em relação a )

  5. (Constante)
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando termo a termo em relação a :

  1. (Usamos a regra do poder)

  2. Aqui, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando termo a termo em relação a :

  1. (Aplicando a regra do poder)

  2. Aqui, aplicamos a regra do produto:
Então, juntando tudo:

Passo 5

Finalmente, vamos avaliar no ponto .
Substituindo e :
Simplificando passo a passo:

  1. (Porque )

  2. (Também multiplicado por )
Somando tudo:

Resposta

O valor de é 2884.

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