Volume de um sólido retangular Escreva seis diferentes integrais triplas iteradas para o volume do sólido retangular no primeiro octante, delimitado pelos planos coordenados e os planos . Calcule uma das integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar o volume de um sólido retangular no primeiro octante usando integrais triplas. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar integrais triplas em diferentes ordens de integração e depois calcular uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o primeiro octante. No espaço tridimensional, o primeiro octante é a região onde as três coordenadas , e são positivas. Nesse caso, o sólido está limitado pelos planos coordenados , , e pelos planos , e .
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
varia de 0 a 1
varia de 0 a 2
varia de 0 a 3
Passo 4
Com esses limites, podemos escrever seis diferentes integrais triplas, cada uma com uma ordem de integração diferente. As ordens possíveis são:
Passo 5
Vamos escrever as seis integrais triplas:
Passo 6
Agora, vamos calcular uma dessas integrais. Vamos escolher a primeira para facilitar:
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, substituímos esse resultado na próxima integral:
Finalmente, integramos em relação a :
Resposta
O volume do sólido retangular é igual a unidades cúbicas.