Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
Passo 1
Beleza, vamos ver aqui o que a questão pede. A gente tem uma função
e precisa descobrir a função inversa dela, além do domínio e da imagem dessa inversa. Isso está ligado ao conteúdo de funções e suas inversas. Para resolver, vamos precisar manipular a equação da função para isolar
e depois identificar o domínio e a imagem da inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é função inversa. A inversa de uma função
é uma função que desfaz o que
faz. Ou seja, se
, então a inversa
. Para encontrar a inversa, a gente troca
por
na equação original e resolve para
.
Passo 3
Vamos começar com a função dada:
Agora, trocamos
por
e
por
:
Agora, precisamos resolver essa nova equação para
, que vai ser a nossa função inversa.
Passo 4
Vamos isolar
:
Agora, para encontrar
, tiramos a raiz cúbica dos dois lados:
Então, a função inversa é:
Passo 5
Agora, vamos identificar o domínio e a imagem da função inversa. O domínio da função inversa é o conjunto de todos os valores que
pode assumir na inversa. Como estamos tirando a raiz cúbica, e raízes cúbicas estão definidas para todos os números reais, o domínio é:
A imagem da função inversa é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Como a função original
tem como imagem todos os números reais, a inversa também terá:
Resposta
A função inversa é
.
Domínio da inversa: .
Imagem da inversa: .
Domínio da inversa:
Imagem da inversa:
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Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem:
Calcule:
e
sendo
;
Para as funções abaixo, determine o maior domínio possível para que sua inversa exista, a expressão da inversa, seu domínio e imagem.