Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
f(x) = x^3 - 2

Passo 1

Beleza, vamos ver aqui o que a questão pede. A gente tem uma função e precisa descobrir a função inversa dela, além do domínio e da imagem dessa inversa. Isso está ligado ao conteúdo de funções e suas inversas. Para resolver, vamos precisar manipular a equação da função para isolar e depois identificar o domínio e a imagem da inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é função inversa. A inversa de uma função é uma função que desfaz o que faz. Ou seja, se , então a inversa . Para encontrar a inversa, a gente troca por na equação original e resolve para .

Passo 3

Vamos começar com a função dada:
Agora, trocamos por e por :
Agora, precisamos resolver essa nova equação para , que vai ser a nossa função inversa.

Passo 4

Vamos isolar :
Agora, para encontrar , tiramos a raiz cúbica dos dois lados:
Então, a função inversa é:

Passo 5

Agora, vamos identificar o domínio e a imagem da função inversa. O domínio da função inversa é o conjunto de todos os valores que pode assumir na inversa. Como estamos tirando a raiz cúbica, e raízes cúbicas estão definidas para todos os números reais, o domínio é:
í
A imagem da função inversa é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Como a função original tem como imagem todos os números reais, a inversa também terá:

Resposta

A função inversa é .
Domínio da inversa: .
Imagem da inversa: .

Exercícios relacionados

Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
f(x) = raiz(x^3 + 2)
Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem:
f(x) = (x + 3) / (x + 2)
Calcule: f(-1) e f(1/2) sendo f(x) = x^2 + 1;
Para as funções abaixo, determine o maior domínio possível para que sua inversa exista, a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
f(x) = raiz(x^2 + 2)