Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a função inversa de
, além de determinar o domínio e a imagem dessa inversa. Vamos precisar usar conceitos de funções inversas e entender como manipular expressões com raízes e potências para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, para achar a inversa de uma função, a gente troca
por
e depois troca
por
. Então, começamos assim:
Agora, trocamos
por
:
Passo 3
Nosso objetivo é isolar
. Pra isso, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 4
Agora, vamos isolar
subtraindo 2 de ambos os lados:
Passo 5
Por fim, para encontrar
, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Então, essa é a expressão da função inversa.
Passo 6
Vamos verificar o domínio da função inversa. O domínio da inversa é a imagem da função original. Olhando para a função original
, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero:
Então, o domínio da função inversa será:
Passo 7
A imagem da função inversa é o domínio da função original. Vamos ver o domínio de
. Já vimos que
, então:
A raiz quadrada sempre dá valores não negativos, então a imagem da função inversa será:
Resposta
A função inversa de
é:
Com domínio:
E imagem:
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Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem:
Para as funções racionais dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível e imagem:
Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
Calcule:
e
sendo
;