Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
f(x) = raiz(x^3 + 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a função inversa de , além de determinar o domínio e a imagem dessa inversa. Vamos precisar usar conceitos de funções inversas e entender como manipular expressões com raízes e potências para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, para achar a inversa de uma função, a gente troca por e depois troca por . Então, começamos assim:
Agora, trocamos por :

Passo 3

Nosso objetivo é isolar . Pra isso, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Agora, vamos isolar subtraindo 2 de ambos os lados:

Passo 5

Por fim, para encontrar , tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Então, essa é a expressão da função inversa.

Passo 6

Vamos verificar o domínio da função inversa. O domínio da inversa é a imagem da função original. Olhando para a função original , o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero:
Então, o domínio da função inversa será:
í

Passo 7

A imagem da função inversa é o domínio da função original. Vamos ver o domínio de . Já vimos que , então:
A raiz quadrada sempre dá valores não negativos, então a imagem da função inversa será:

Resposta

A função inversa de é:
Com domínio:
í
E imagem:

Exercícios relacionados

Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem:
f(x) = (x + 3) / (x + 2)
Para as funções racionais dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível e imagem:
f(x) = (2*x^4 - x^3 - 3*x^2 - x) / (2*x^2 + x)
Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
f(x) = x^3 - 2
Calcule: f(-1) e f(1/2) sendo f(x) = x^2 + 1;