Para as funções abaixo, determine o maior domínio possível para que sua inversa exista, a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
f(x)=(x^2-x-2)/(x-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções e suas inversas. A gente precisa descobrir qual é o maior domínio possível para a função inversa existir, encontrar a expressão dessa inversa, além do domínio e da imagem dela. Para isso, vamos trabalhar com a função .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma simplificada nessa função . Olha só o numerador . A gente pode fatorar isso. Vamos encontrar dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e 1. Então:
Agora substituímos de volta na função:

Passo 3

Percebeu que o no numerador e no denominador cancelam, certo? Mas atenção! Não podemos dividir por zero. Então, a função simplificada fica:
Isso significa que o domínio da função original é todos os números reais menos .

Passo 4

Agora, para a função ter uma inversa, ela precisa ser uma função um-a-um (ou seja, cada valor de saída corresponde a apenas um valor de entrada). Nossa função simplificada é uma função linear que é sempre um-a-um, então tá tudo certo. O maior domínio possível para a inversa existir é todo o domínio onde a função é definida e um-a-um, que nesse caso é menos .

Passo 5

Vamos encontrar a inversa. Para isso, trocamos por e resolvemos para :
Agora trocamos e :
E isolamos :
Então, a função inversa é .

Passo 6

Por último, vamos definir o domínio e a imagem da função inversa. Como é uma função linear, o domínio dela é todos os números reais, , e a imagem também é .

Resposta

O maior domínio possível para a inversa existir é menos . A expressão da inversa é . O domínio da inversa é e a imagem também é .

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