Para as funções abaixo, determine o maior domínio possível para que sua inversa exista, a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções e suas inversas. A gente precisa descobrir qual é o maior domínio possível para a função inversa existir, encontrar a expressão dessa inversa, além do domínio e da imagem dela. Para isso, vamos trabalhar com a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma simplificada nessa função
. Olha só o numerador
. A gente pode fatorar isso. Vamos encontrar dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e 1. Então:
Agora substituímos de volta na função:
Passo 3
Percebeu que o
no numerador e no denominador cancelam, certo? Mas atenção! Não podemos dividir por zero. Então, a função simplificada fica:
Isso significa que o domínio da função original é todos os números reais menos
.
Passo 4
Agora, para a função ter uma inversa, ela precisa ser uma função um-a-um (ou seja, cada valor de saída corresponde a apenas um valor de entrada). Nossa função simplificada
é uma função linear que é sempre um-a-um, então tá tudo certo. O maior domínio possível para a inversa existir é todo o domínio onde a função é definida e um-a-um, que nesse caso é
menos
.
Passo 5
Vamos encontrar a inversa. Para isso, trocamos
por
e resolvemos para
:
Agora trocamos
e
:
E isolamos
:
Então, a função inversa é
.
Passo 6
Por último, vamos definir o domínio e a imagem da função inversa. Como
é uma função linear, o domínio dela é todos os números reais,
, e a imagem também é
.
Resposta
O maior domínio possível para a inversa existir é
menos
. A expressão da inversa é
. O domínio da inversa é
e a imagem também é
.
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Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
Para as funções
e
abaixo, faça o gráfico das funções
e
entre os valores de
que satisfazem
, indicando o ponto de máximo ou mínimo da função
, caso esteja no intervalo de interesse, e a imagem das duas no intervalo de interesse.
e
Para as funções dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico indicando suas raízes reais, determine seu maior domínio possível e imagem.