Para as funções abaixo, determine o maior domínio possível para que sua inversa exista, a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
f(x) = x^2 - x - 2

Passo 1

Beleza, a gente tem a função . O objetivo aqui é descobrir qual é o maior domínio que a gente pode usar pra essa função ter uma inversa, encontrar essa inversa, e depois identificar o domínio e a imagem dessa inversa. Vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas e como encontrar inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função só tem inversa se ela for injetora, ou seja, se cada valor de saída estiver associado a apenas um valor de entrada. Como é uma função quadrática (uma parábola), ela não é injetora no seu domínio inteiro porque passa o teste da parábola duas vezes (não é uma função “perfeitamente crescente ou decrescente”).

Passo 3

Para tornar injetora, a gente precisa restringir o domínio para onde a função seja monótona (ou seja, sempre aumentando ou sempre diminuindo). Vamos encontrar o vértice da parábola para saber onde ela troca de direção.
A fórmula do vértice para uma função quadrática é .
Aqui, e , então:

Passo 4

Agora, decidimos escolher um dos lados do vértice para manter a função monótona. Vamos escolher para que a função seja crescente.
Então, nosso domínio restringido é:

Passo 5

Com o domínio restrito, agora vamos encontrar a inversa da função. Começamos substituindo por :
Vamos resolver para :
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Como escolhemos e a função é crescente, escolhemos a raiz positiva:

Passo 6

Agora, vamos identificar o domínio e a imagem da inversa .
  • Domínio da inversa: É o intervalo de saída da função original . Como é crescente a partir de , o mínimo valor de ocorre em :
Então, o domínio da inversa é:
  • Imagem da inversa: É o domínio da função original restrito, que é .

Resposta

A inversa da função , com domínio restrito a , é:
O domínio da inversa é e a imagem é .

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