Para as funções abaixo, determine o maior domínio possível para que sua inversa exista, a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
Passo 1
Beleza, a gente tem a função
. O objetivo aqui é descobrir qual é o maior domínio que a gente pode usar pra essa função ter uma inversa, encontrar essa inversa, e depois identificar o domínio e a imagem dessa inversa. Vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas e como encontrar inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função só tem inversa se ela for injetora, ou seja, se cada valor de saída estiver associado a apenas um valor de entrada. Como
é uma função quadrática (uma parábola), ela não é injetora no seu domínio inteiro porque passa o teste da parábola duas vezes (não é uma função “perfeitamente crescente ou decrescente”).
Passo 3
Para tornar
injetora, a gente precisa restringir o domínio para onde a função seja monótona (ou seja, sempre aumentando ou sempre diminuindo). Vamos encontrar o vértice da parábola para saber onde ela troca de direção.
A fórmula do vértice para uma função quadrática
é
.
Aqui,
e
, então:
Passo 4
Agora, decidimos escolher um dos lados do vértice para manter a função monótona. Vamos escolher
para que a função seja crescente.
Então, nosso domínio restringido é:
Passo 5
Com o domínio restrito, agora vamos encontrar a inversa da função. Começamos substituindo
por
:
Vamos resolver para
:
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Como escolhemos
e a função é crescente, escolhemos a raiz positiva:
Passo 6
Agora, vamos identificar o domínio e a imagem da inversa
.
- Domínio da inversa: É o intervalo de saída da função original
. Como é crescente a partir de , o mínimo valor de ocorre em :
Então, o domínio da inversa é:
- Imagem da inversa: É o domínio da função original restrito, que é
.
Resposta
A inversa da função
, com domínio restrito a
, é:
O domínio da inversa é
e a imagem é
.
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Para as funções
e
abaixo, faça o gráfico das funções
e
entre os valores de
que satisfazem
, indicando o ponto de máximo ou mínimo da função
, caso esteja no intervalo de interesse, e a imagem das duas no intervalo de interesse.
e