Para as funções
e
abaixo, faça o gráfico das funções
e
entre os valores de
que satisfazem
, indicando o ponto de máximo ou mínimo da função
, caso esteja no intervalo de interesse, e a imagem das duas no intervalo de interesse.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer o gráfico das funções
e
no intervalo onde
. Além disso, temos que indicar o ponto de máximo ou mínimo da função
nesse intervalo e mostrar a imagem (os valores de
) das duas funções nesse mesmo intervalo. Para isso, vamos precisar entender como encontrar onde as duas funções se igualam e como identificar o ponto de máximo ou mínimo de uma função quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores de
que satisfazem
. Isso significa que precisamos resolver a equação:
Passo 3
Vamos trazer todos os termos para um lado da equação para igualar a zero:
Simplificando:
Passo 4
Agora, temos uma equação quadrática da forma
, onde:
Para resolver essa equação, vamos calcular o discriminante
usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 5
Como o discriminante
é negativo, isso significa que não existem soluções reais para a equação
. Em outras palavras, as funções
e
nunca se intersectam no conjunto dos números reais.
Passo 6
Agora, vamos analisar a função
para encontrar seu ponto de mínimo ou máximo. Como o coeficiente de
é positivo (
), sabemos que a parábola abre para cima, e portanto, possui um ponto de mínimo.
Para encontrar o ponto de mínimo, usamos a fórmula:
onde
e
(da função
).
Substituindo:
Agora, encontramos o valor de
:
Portanto, o ponto de mínimo da função
é
.
Resposta
As funções
e
não se intersectam no conjunto dos números reais, ou seja, não existe um intervalo onde
. Além disso, a função
possui um ponto de mínimo em
.
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