Para as funções f(x) e g(x) abaixo, faça o gráfico das funções f e g entre os valores de x que satisfazem f(x) = g(x), indicando o ponto de máximo ou mínimo da função f, caso esteja no intervalo de interesse, e a imagem das duas no intervalo de interesse.
f(x) = 3x^2 - x + 3 e g(x) = 2x - 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer o gráfico das funções e no intervalo onde . Além disso, temos que indicar o ponto de máximo ou mínimo da função nesse intervalo e mostrar a imagem (os valores de ) das duas funções nesse mesmo intervalo. Para isso, vamos precisar entender como encontrar onde as duas funções se igualam e como identificar o ponto de máximo ou mínimo de uma função quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de que satisfazem . Isso significa que precisamos resolver a equação:

Passo 3

Vamos trazer todos os termos para um lado da equação para igualar a zero:
Simplificando:

Passo 4

Agora, temos uma equação quadrática da forma , onde:
Para resolver essa equação, vamos calcular o discriminante usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 5

Como o discriminante é negativo, isso significa que não existem soluções reais para a equação . Em outras palavras, as funções e nunca se intersectam no conjunto dos números reais.

Passo 6

Agora, vamos analisar a função para encontrar seu ponto de mínimo ou máximo. Como o coeficiente de é positivo ( ), sabemos que a parábola abre para cima, e portanto, possui um ponto de mínimo.
Para encontrar o ponto de mínimo, usamos a fórmula:
í
onde e (da função ).
Substituindo:
í
Agora, encontramos o valor de í:
Portanto, o ponto de mínimo da função é .

Resposta

As funções e não se intersectam no conjunto dos números reais, ou seja, não existe um intervalo onde . Além disso, a função possui um ponto de mínimo em .

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