Para as funções dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico indicando suas raízes reais, determine seu maior domínio possível e imagem.
f(x) = -x^3 + 2 x^2 - x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função e precisamos:
  1. Esboçar o gráfico dessa função.
  2. Identificar suas raízes reais (os valores de que fazem ).
  3. Determinar o maior domínio possível da função.
  4. Encontrar a imagem da função (os valores que pode assumir).
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de funções polinomiais, como encontrar raízes, determinar domínio e imagem, e saber esboçar gráficos de funções cúbicas.

Passo 2

Encontrando as raízes reais da função
As raízes reais de uma função são os valores de que fazem . Vamos resolver a equação:
Podemos fatorar a expressão:
Agora, resolvemos cada fator igual a zero:
Resolvendo a segunda equação quadrática:
Então, as raízes reais são e .

Passo 3

Determinar o maior domínio possível da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Nossa função é um polinômio:
Funções polinomiais são definidas para todos os números reais, pois não há divisões por zero ou raízes de números negativos que possam restringir o domínio. Portanto, o domínio é:
ú

Passo 4

Encontrar a imagem da função
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Vamos analisar o comportamento da função cúbica :
  1. Como o termo de maior grau é , sabemos que quando vai para , vai para , e quando vai para , vai para .
  2. Isso indica que a função não tem limites superior ou inferior, ou seja, sua imagem cobre todos os números reais.
Portanto, a imagem é:
ú

Passo 5

Esboçar o gráfico da função
Vamos resumir o que já encontramos:
  • Raízes reais: e
  • Domínio:
  • Imagem:
Além disso, sabemos que:
  • Para muito grande positivo, tende a .
  • Para muito grande negativo, tende a .
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Marque os pontos onde a função intercepta o eixo , nos pontos e .
  2. Como a função é cúbica com coeficiente negativo, ela começa no canto superior esquerdo (quando vai para , vai para ) e desce para o canto inferior direito (quando vai para , vai para ).
  3. A curva irá cruzar o eixo nos pontos encontrados e terá uma forma ondulada típica das funções cúbicas.

Resposta

A função possui raízes reais em e . Seu maior domínio possível é (todos os números reais) e sua imagem também é . O esboço do gráfico mostra uma curva cúbica que cruza o eixo nos pontos identificados, iniciando no canto superior esquerdo e terminando no canto inferior direito.

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f(x) = 3x^2 - x + 3 e g(x) = 2x - 3
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f(x) = (-x + 7) / (x - 3)