Para as funções dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico indicando suas raízes reais, determine seu maior domínio possível e imagem.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
e precisamos:
- Esboçar o gráfico dessa função.
- Identificar suas raízes reais (os valores de
que fazem ). - Determinar o maior domínio possível da função.
- Encontrar a imagem da função (os valores que
pode assumir).
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de funções polinomiais, como encontrar raízes, determinar domínio e imagem, e saber esboçar gráficos de funções cúbicas.
Passo 2
Encontrando as raízes reais da função
As raízes reais de uma função são os valores de
que fazem
. Vamos resolver a equação:
Podemos fatorar a expressão:
Agora, resolvemos cada fator igual a zero:
Resolvendo a segunda equação quadrática:
Então, as raízes reais são
e
.
Passo 3
Determinar o maior domínio possível da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Nossa função é um polinômio:
Funções polinomiais são definidas para todos os números reais, pois não há divisões por zero ou raízes de números negativos que possam restringir o domínio. Portanto, o domínio é:
Passo 4
Encontrar a imagem da função
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Vamos analisar o comportamento da função cúbica
:
- Como o termo de maior grau é
, sabemos que quando vai para , vai para , e quando vai para , vai para . - Isso indica que a função não tem limites superior ou inferior, ou seja, sua imagem cobre todos os números reais.
Portanto, a imagem é:
Passo 5
Esboçar o gráfico da função
Vamos resumir o que já encontramos:
- Raízes reais:
e - Domínio:
- Imagem:
Além disso, sabemos que:
- Para
muito grande positivo, tende a . - Para
muito grande negativo, tende a .
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Marque os pontos onde a função intercepta o eixo
, nos pontos e . - Como a função é cúbica com coeficiente negativo, ela começa no canto superior esquerdo (quando
vai para , vai para ) e desce para o canto inferior direito (quando vai para , vai para ). - A curva irá cruzar o eixo
nos pontos encontrados e terá uma forma ondulada típica das funções cúbicas.
Resposta
A função
possui raízes reais em
e
. Seu maior domínio possível é
(todos os números reais) e sua imagem também é
. O esboço do gráfico mostra uma curva cúbica que cruza o eixo
nos pontos identificados, iniciando no canto superior esquerdo e terminando no canto inferior direito.
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Para as funções
e
abaixo, faça o gráfico das funções
e
entre os valores de
que satisfazem
, indicando o ponto de máximo ou mínimo da função
, caso esteja no intervalo de interesse, e a imagem das duas no intervalo de interesse.
e
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