Das funções abaixo encontre:
  • os valores x do domínio da função tal que f(x) = 0. (ou seja, se f(x) = 0 então o ponto (x, f(x)) = (x, 0) pertence ao eixo x (eixo das abscissas));
  • o valor da função no 0, (i.e., calcule o valor de f(0) ) se o 0 pertence ao domínio da função (se 0 pertence ao domínio da função, então o ponto (0, f(0)) pertence ao eixo y (eixo das ordenadas));
  • os conjuntos em que a função é positiva e negativa, i.e., existem subconjuntos A, B ⊆ R tais que para todo x em A temos que f(x) > 0, e para todo z em B, f(z) < 0. Devemos encontrar A e B.
    Construa o gráfico das funções. Seja f: R -> R dada por
    f(x) = -x^2 + 2x + 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática, que é uma equação do tipo . No caso, a função é . Nosso objetivo aqui é:
  1. Encontrar os valores de onde (ou seja, onde a função cruza o eixo ).
  2. Calcular o valor da função quando , se isso for possível.
  3. Descobrir em quais intervalos a função é positiva e negativa.
  4. Por fim, desenhar o gráfico dessa função.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de que fazem . Isso significa resolver a equação:
Como estamos lidando com uma equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara para achar as raízes. A fórmula é:
Aqui, , e . Vamos substituir esses valores na fórmula:
Calculando dentro da raiz:
Então:
Temos duas soluções:
Portanto, os valores de onde são e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função quando . Basicamente, queremos saber .
Substituindo na função:
Então, . Isso significa que o ponto está no eixo .

Passo 4

Vamos descobrir onde a função é positiva e onde é negativa. Para isso, observamos as raízes que encontramos ( e ) e analisamos o sinal da função nos intervalos determinados por essas raízes.
Como o coeficiente de é negativo ( ), sabemos que o gráfico da função é uma parábola que abre para baixo.
Os intervalos são:
  1. Para : Vamos escolher, por exemplo, :
  2. Para : Vamos escolher :
  3. Para : Vamos escolher :
Então, a função é:
  • Positiva no intervalo .
  • Negativa nos intervalos e .

Passo 5

Por último, vamos esboçar o gráfico da função com base nas informações que obtivemos.
  1. Raízes: A função cruza o eixo nos pontos e .
  2. Valor em : O ponto está no eixo .
  3. Sinal da função: Positiva entre e , negativa fora desse intervalo.
  4. Formato da parábola: Como , a parábola abre para baixo.
Então, o gráfico será uma parábola com vértice acima do eixo , cruzando-o nos pontos e , e passando por .

Resposta

  • Os valores de onde são e .
  • O valor da função em é .
  • A função é positiva no intervalo e negativa nos intervalos e .
  • O gráfico é uma parábola que abre para baixo, cruzando o eixo em e , e passando pelo ponto .

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