Das funções abaixo encontre:
- os valores
do domínio da função tal que
. (ou seja, se
então o ponto
pertence ao eixo
(eixo das abscissas));
- o valor da função no 0, (i.e., calcule o valor de
) se o 0 pertence ao domínio da função (se 0 pertence ao domínio da função, então o ponto
pertence ao eixo y (eixo das ordenadas));
- os conjuntos em que a função é positiva e negativa, i.e., existem subconjuntos
tais que para todo
temos que
, e para todo
,
. Devemos encontrar
e
.
Construa o gráfico das funções. Seja
dada por
.
Construa o gráfico das funções. Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática, que é uma equação do tipo
. No caso, a função é
. Nosso objetivo aqui é:
- Encontrar os valores de
onde (ou seja, onde a função cruza o eixo ). - Calcular o valor da função quando
, se isso for possível. - Descobrir em quais intervalos a função é positiva e negativa.
- Por fim, desenhar o gráfico dessa função.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores de
que fazem
. Isso significa resolver a equação:
Como estamos lidando com uma equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara para achar as raízes. A fórmula é:
Aqui,
,
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Calculando dentro da raiz:
Então:
Temos duas soluções:
Portanto, os valores de
onde
são
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da função quando
. Basicamente, queremos saber
.
Substituindo
na função:
Então,
. Isso significa que o ponto
está no eixo
.
Passo 4
Vamos descobrir onde a função é positiva e onde é negativa. Para isso, observamos as raízes que encontramos (
e
) e analisamos o sinal da função nos intervalos determinados por essas raízes.
Como o coeficiente de
é negativo (
), sabemos que o gráfico da função é uma parábola que abre para baixo.
Os intervalos são:
-
Para
: Vamos escolher, por exemplo, : -
Para
: Vamos escolher : -
Para
: Vamos escolher :
Então, a função é:
- Positiva no intervalo
. - Negativa nos intervalos
e .
Passo 5
Por último, vamos esboçar o gráfico da função
com base nas informações que obtivemos.
- Raízes: A função cruza o eixo
nos pontos e . - Valor em
: O ponto está no eixo . - Sinal da função: Positiva entre
e , negativa fora desse intervalo. - Formato da parábola: Como
, a parábola abre para baixo.
Então, o gráfico será uma parábola com vértice acima do eixo
, cruzando-o nos pontos
e
, e passando por
.
Resposta
- Os valores de
onde são e . - O valor da função em
é . - A função é positiva no intervalo
e negativa nos intervalos e . - O gráfico é uma parábola que abre para baixo, cruzando o eixo
em e , e passando pelo ponto .