Das funções abaixo encontre:
  • os valores x do domínio da função tal que f(x) = 0. (ou seja, se f(x) = 0 então o ponto (x, f(x)) = (x, 0) pertence ao eixo x (eixo das abscissas));
  • o valor da função no 0, (i.e., calcule o valor de f(0) ) se o 0 pertence ao domínio da função (se 0 pertence ao domínio da função, então o ponto (0, f(0)) pertence ao eixo y (eixo das ordenadas));
  • os conjuntos em que a função é positiva e negativa, i.e., existem subconjuntos A, B ⊆ R tais que para todo x em A temos que f(x) > 0, e para todo z em B, f(z) < 0. Devemos encontrar A e B.
    Construa o gráfico das funções. Seja f: R -> R dada por
    f(x) = 3 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar a função . Vamos identificar os valores de onde , calcular se possível, descobrir onde a função é positiva ou negativa, e finalmente, desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conhecimentos básicos de funções lineares e álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de no domínio da função tal que . Isso significa resolver a equação:
Para achar , dividimos ambos os lados da equação por 3:
Então, é o único valor que faz .

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função no ponto 0, ou seja, . Basta substituir por 0 na função:
Portanto, .

Passo 4

Vamos determinar onde a função é positiva e negativa. A função é uma função linear com coeficiente positivo (3), o que influencia o comportamento dela.
  • Função positiva ( ):
    Então, para todos os maiores que 0, será positivo.
  • Função negativa ( ):
    Assim, para todos os menores que 0, será negativo.
Portanto, os conjuntos são:

Passo 5

Vamos construir o gráfico da função . Sabemos que é uma linha reta que passa pela origem (0,0) e tem uma inclinação de 3. Isso significa que para cada aumento de 1 em , aumenta 3. O gráfico será uma linha que sobe rapidamente à direita e desce à esquerda do eixo .

Resposta

  • Valores de onde : .
  • Valor da função em 0: .
  • Conjunto onde a função é positiva: .
  • Conjunto onde a função é negativa: .
  • Gráfico da função: Uma linha reta que passa pela origem com inclinação positiva, subindo à direita e descendo à esquerda.

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