Das funções abaixo encontre:
- os valores
do domínio da função tal que
. (ou seja, se
então o ponto
pertence ao eixo
(eixo das abscissas));
- o valor da função no 0, (i.e., calcule o valor de
) se o 0 pertence ao domínio da função (se 0 pertence ao domínio da função, então o ponto
pertence ao eixo y (eixo das ordenadas));
- os conjuntos em que a função é positiva e negativa, i.e., existem subconjuntos
tais que para todo
temos que
, e para todo
,
. Devemos encontrar
e
.
Construa o gráfico das funções. Seja
dada por
.
Construa o gráfico das funções. Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir algumas coisas sobre ela:
- Onde a função é zero (
): Isso nos mostra os pontos onde o gráfico cruza o eixo . - Valor da função em zero (
): Se 0 está no domínio, isso nos dá o ponto onde o gráfico cruza o eixo . - Onde a função é positiva ou negativa: Vamos achar os intervalos de
onde e onde . - Construir o gráfico da função: Vamos desenhar como essa função se parece no gráfico.
Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, raízes de equações do 2º grau e análise de sinais.
Passo 2
Encontrando os valores de
onde
:
Queremos resolver a equação:
Essa é uma equação quadrática da forma
. Para resolver, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
No nosso caso,
,
e
. Substituindo na fórmula:
Portanto, temos duas soluções:
Então, os valores de
onde
são
e
.
Passo 3
Calculando o valor da função em zero (
):
Vamos substituir
na função:
Então,
. Isso significa que o ponto
está no gráfico da função, no eixo
.
Passo 4
Determinar onde a função é positiva (
) e negativa (
):
Sabemos que a função quadrática
tem a forma de uma parábola. Como o coeficiente de
é positivo (
), a parábola abre para cima.
Já encontramos as raízes da função:
e
. Essas raízes dividem a reta real em três intervalos:
Vamos analisar o sinal da função em cada intervalo:
-
Para
:
Escolha um número, por exemplo,. Então,nesse intervalo. -
Para
:
Escolha, por exemplo,(já calculamos: ).
Assim,nesse intervalo. -
Para
:
Escolha, por exemplo,. Então,nesse intervalo.
Resumindo:
-
para e . -
para .
Passo 5
Construindo o gráfico da função
:
Vamos juntar tudo o que descobrimos:
- Raízes da função:
e . Esses são os pontos onde a parábola cruza o eixo . - Ponto no eixo
: . - Sinal da função:
- Acima do eixo
quando e . - Abaixo do eixo
quando .
- Acima do eixo
- Tipo de parábola: Abre para cima (já que o coeficiente de
é positivo).
Passos para desenhar o gráfico:
- Desenhe os eixos
e . - Marque os pontos
, e . - Trace a parábola abrindo para cima, passando por esses pontos.
- Somente duas interseções com o eixo
em e . - Aprofunde-se nos intervalos onde a função é positiva e negativa, conforme identificado.
Resposta
- Os valores de
onde são e . - O valor da função em zero é
. - A função é positiva para
e , e negativa para . - O gráfico da função é uma parábola que abre para cima, cruzando o eixo
nos pontos e , e o eixo no ponto .
Exercícios relacionados
Das funções abaixo encontre:
- os valores
do domínio da função tal que . (ou seja, se então o ponto pertence ao eixo (eixo das abscissas)); - o valor da função no 0, (i.e., calcule o valor de
) se o 0 pertence ao domínio da função (se 0 pertence ao domínio da função, então o ponto pertence ao eixo y (eixo das ordenadas)); - os conjuntos em que a função é positiva e negativa, i.e., existem subconjuntos
tais que para todo temos que , e para todo , . Devemos encontrar e .
Construa o gráfico das funções. Sejadada por
.
Utilizando as propriedades anteriores, mostre que
A partir das informações anteriores. Esboce os gráficos da função seno e da função cosseno onde o domínio da função seno e o domínio da função cosseno é o conjunto
.
Converta os seguintes ângulos de graus para radiano.