Das funções abaixo encontre:
  • os valores x do domínio da função tal que f(x) = 0. (ou seja, se f(x) = 0 então o ponto (x, f(x)) = (x, 0) pertence ao eixo x (eixo das abscissas));
  • o valor da função no 0, (i.e., calcule o valor de f(0) ) se o 0 pertence ao domínio da função (se 0 pertence ao domínio da função, então o ponto (0, f(0)) pertence ao eixo y (eixo das ordenadas));
  • os conjuntos em que a função é positiva e negativa, i.e., existem subconjuntos A, B ⊆ R tais que para todo x em A temos que f(x) > 0, e para todo z em B, f(z) < 0. Devemos encontrar A e B.
    Construa o gráfico das funções. Seja f: R -> R dada por
    f(x) = x^2 - 4x - 5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir algumas coisas sobre ela:
  1. Onde a função é zero ( ): Isso nos mostra os pontos onde o gráfico cruza o eixo .
  2. Valor da função em zero ( ): Se 0 está no domínio, isso nos dá o ponto onde o gráfico cruza o eixo .
  3. Onde a função é positiva ou negativa: Vamos achar os intervalos de onde e onde .
  4. Construir o gráfico da função: Vamos desenhar como essa função se parece no gráfico.
Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, raízes de equações do 2º grau e análise de sinais.

Passo 2

Encontrando os valores de onde :
Queremos resolver a equação:
Essa é uma equação quadrática da forma . Para resolver, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
No nosso caso, , e . Substituindo na fórmula:
Portanto, temos duas soluções:
Então, os valores de onde são e .

Passo 3

Calculando o valor da função em zero ( ):
Vamos substituir na função:
Então, . Isso significa que o ponto está no gráfico da função, no eixo .

Passo 4

Determinar onde a função é positiva ( ) e negativa ( ):
Sabemos que a função quadrática tem a forma de uma parábola. Como o coeficiente de é positivo ( ), a parábola abre para cima.
Já encontramos as raízes da função: e . Essas raízes dividem a reta real em três intervalos:
Vamos analisar o sinal da função em cada intervalo:
  • Para :
    Escolha um número, por exemplo, .
    Então, nesse intervalo.
  • Para :
    Escolha, por exemplo, (já calculamos: ).
    Assim, nesse intervalo.
  • Para :
    Escolha, por exemplo, .
    Então, nesse intervalo.
Resumindo:
  • para e .
  • para .

Passo 5

Construindo o gráfico da função :
Vamos juntar tudo o que descobrimos:
  1. Raízes da função: e . Esses são os pontos onde a parábola cruza o eixo .
  2. Ponto no eixo : .
  3. Sinal da função:
    • Acima do eixo quando e .
    • Abaixo do eixo quando .
  4. Tipo de parábola: Abre para cima (já que o coeficiente de é positivo).
Passos para desenhar o gráfico:
  • Desenhe os eixos e .
  • Marque os pontos , e .
  • Trace a parábola abrindo para cima, passando por esses pontos.
  • Somente duas interseções com o eixo em e .
  • Aprofunde-se nos intervalos onde a função é positiva e negativa, conforme identificado.

Resposta

  • Os valores de onde são e .
  • O valor da função em zero é .
  • A função é positiva para e , e negativa para .
  • O gráfico da função é uma parábola que abre para cima, cruzando o eixo nos pontos e , e o eixo no ponto .

Exercícios relacionados

Das funções abaixo encontre:
  • os valores x do domínio da função tal que f(x) = 0. (ou seja, se f(x) = 0 então o ponto (x, f(x)) = (x, 0) pertence ao eixo x (eixo das abscissas));
  • o valor da função no 0, (i.e., calcule o valor de f(0) ) se o 0 pertence ao domínio da função (se 0 pertence ao domínio da função, então o ponto (0, f(0)) pertence ao eixo y (eixo das ordenadas));
  • os conjuntos em que a função é positiva e negativa, i.e., existem subconjuntos A, B ⊆ R tais que para todo x em A temos que f(x) > 0, e para todo z em B, f(z) < 0. Devemos encontrar A e B.
    Construa o gráfico das funções. Seja f: R -> R dada por
    f(x) = 3 x.
Utilizando as propriedades anteriores, mostre que
cos(x + pi) = -cos(x)
A partir das informações anteriores. Esboce os gráficos da função seno e da função cosseno onde o domínio da função seno e o domínio da função cosseno é o conjunto [0, 2 pi].
Converta os seguintes ângulos de graus para radiano.
55 graus